Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты: а) орел выпадет ровно пять раз; б) орлов и...

Во всех случаях рассматриваемой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как каждый бросок монеты является независимым испытанием с двумя исходами (орел или решка), каждый из которых имеет вероятность 0.5.

а) Вероятность, что орел выпадет ровно пять раз

Для расчета этой вероятности используем биномиальную формулу: [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ] где ( n ) - число испытаний (бросков), ( k ) - число успешных исходов (выпадения орла), ( p ) - вероятность успеха.

Подставляем значения: [ P(X = 5) = \binom{8}{5} (0.5)^5 (0.5)^{8-5} = \binom{8}{5} (0.5)^8 ] [ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56 ] [ P(X = 5) = 56 \cdot (0.5)^8 = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} \approx 0.21875 ]

б) Вероятность, что орлов и решек выпадет поровну

Здесь ( k = 4 ) (по 4 орла и 4 решки): [ P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.5)^8 = 70 \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} \approx 0.2734375 ]

в) Вероятность, что решка выпадет ровно пять раз

Это аналогично пункту (а), так как решка и орел равновероятны: [ P(X = 5) = \frac{56}{256} \approx 0.21875 ]

г) Вероятность, что решка выпадет чаще орла

Это означает, что решек должно выпасть 5, 6, 7 или 8 раз. Подсчитаем каждую вероятность и сложим: [ P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) ] [ P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^8 = 28 \cdot \frac{1}{256} ] [ P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.5)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} ] [ P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} ] [ P(X \geq 5) = \frac{56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac{93}{256} \approx 0.36328125 ]

Таким образом, вероятности для четырех ситуаций вычислены.

а) Для решения данной задачи можно воспользоваться биномиальным распределением. Вероятность выпадения орла или решки при одном бросании монеты равна 0.5. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно пять раз при восьми бросаниях монеты будет равна сочетанию из 8 по 5, умноженному на вероятность успеха в степени числа успехов, умноженному на вероятность неудачи в степени числа неудач. Таким образом, вероятность равна C(8, 5) 0.5^5 0.5^3 = 0.21875.

б) Для того чтобы орлов и решек выпало поровну, необходимо, чтобы они выпали по 4 раза. Таким образом вероятность этого равна C(8, 4) 0.5^4 0.5^4 = 0.27344.

в) Аналогично предыдущим пунктам, вероятность того, что решка выпадет ровно пять раз при восьми бросаниях монеты равна C(8, 5) 0.5^5 0.5^3 = 0.21875.

г) Чтобы решка выпала чаще, чем орел, нужно, чтобы решка выпала 6, 7 или 8 раз. Вероятность этого равна сумме вероятностей выпадения решки 6, 7 и 8 раз, то есть C(8, 6) 0.5^6 0.5^2 + C(8, 7) 0.5^7 0.5^1 + C(8, 8) 0.5^8 0.5^0 = 0.36328.

Таким образом, мы получили вероятности для каждого из вариантов бросания монеты восемь раз.