Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: х₂ + 6х + 12 (х в квадрате...

Наименьшее значение выражение принимает при х=-3, и это значение равно 3.

Чтобы найти наименьшее значение выражения ( x^2 + 6x + 12 ), мы можем использовать метод выделения полного квадрата. Это позволит преобразовать квадратное выражение так, чтобы легче было определить его минимальное значение.

Итак, начнем с выражения:

[ x^2 + 6x + 12 ]

Выделим полный квадрат из первых двух членов:

1. Возьмем коэффициент перед ( x ), который равен 6, разделим его на 2 и возведем в квадрат:

   [ \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9 ]

2. Добавим и вычтем 9 в выражении, чтобы не изменять его значение:

   [ x^2 + 6x + 9 + 12 - 9 ]

3. Теперь первые три члена представляют собой полный квадрат:

   [ (x + 3)^2 + 3 ]

Теперь выражение имеет вид:

[ (x + 3)^2 + 3 ]

Поскольку ((x + 3)^2) всегда больше или равно нулю, наименьшее значение этого выражения достигается, когда ((x + 3)^2 = 0). Это происходит, когда (x + 3 = 0), то есть (x = -3).

Подставив (x = -3) в выражение, получаем:

[ (x + 3)^2 + 3 = 0 + 3 = 3 ]

Таким образом, наименьшее значение выражения (x^2 + 6x + 12) равно 3, и оно достигается при (x = -3).

Для того чтобы найти наименьшее значение данного выражения, нам необходимо преобразовать его квадратное уравнение в каноническую форму. Для этого воспользуемся методом завершения квадрата.

Сначала выделим полный квадрат из выражения x^2 + 6x. Для этого добавим и вычтем к выражению (x^2 + 6x) число, равное квадрату половины коэффициента при x, т.е. (6/2)^2 = 9:

x^2 + 6x + 9 - 9 + 12 (x + 3)^2 - 9 + 12 (x + 3)^2 + 3

Таким образом, данное выражение можно представить в виде (x + 3)^2 + 3. Поскольку квадрат любного числа неотрицателен, то минимальное значение данного выражения будет равно 3 и достигается при x = -3.