Известно, что sint-cost=0,3 Найдите sin^3t-cos^3t

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой куба суммы: $a-b$$a^2+ab+b^2$ = a^3 - b^3 Применим данную формулу, где a=sint и b=cost: $sin(t$ - cos$t$)$si{n}^2(t$ + sin$t$cos$t$ + cos^2$t$) = sin^3$t$ - cos^3$t$ Так как sin$t$ - cos$t$ = 0,3, то подставляем это значение: 0,3$si{n}^2(t$ + sin$t$cos$t$ + cos^2$t$) = sin^3$t$ - cos^3$t$ Заметим, что sin^2$t$ + cos^2$t$ = 1 $таккакэтотождествотригонометрии$, тогда: 0,3$1+sin(t$cos$t$) = sin^3$t$ - cos^3$t$ 0,3 + 0,3sin$t$cos$t$ = sin^3$t$ - cos^3$t$ Таким образом, sin^3$t$ - cos^3$t$ = 0,3 + 0,3sin$t$cos$t$

Чтобы найти значение выражения ${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t$, зная, что $\sin t-\cos t=0.3$, воспользуемся формулой разности кубов:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

В нашем случае $a=\sin t$ и $b=\cos t$. Поэтому:

${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t=(\sin t-\cos t)({\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t)$

Мы знаем, что $\sin t-\cos t=0.3$. Теперь нам нужно найти выражение ${\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t$.

Поскольку ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ $основноетригонометрическоетождество$, у нас:

${\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t=({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)+\sin t\cos t=1+\sin t\cos t$

Теперь найдём $\sin t\cos t$. Для этого возведем в квадрат выражение $\sin t-\cos t=0.3$:

$(\sin t-\cos t{)}^2={\sin }^{2}t-2\sin t\cos t+{\cos }^{2}t={0.3}^2$

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t-2\sin t\cos t=0.09$

Так как ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$, подставим это в уравнение:

$1-2\sin t\cos t=0.09$

Отсюда:

$2\sin t\cos t=1-0.09=0.91$

$\sin t\cos t=\frac{0.91}{2}=0.455$

Теперь подставим найденное значение $\sin t\cos t$ в выражение ${\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t$:

${\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t=1+0.455=1.455$

Теперь у нас есть все составляющие для вычисления ${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t$:

${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t=(\sin t-\cos t)({\sin }^{2}t+\sin t\cos t+{\cos }^{2}t)=0.3\times 1.455$

${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t=0.4365$

Таким образом, значение выражения ${\sin }^{3}t-{\cos }^{3}t$ равно 0.4365.