Известно, что х²+9/х²=55 Найдите значение выражения х - 3/х

Давайте решим задачу поэтапно. Нам дано уравнение:

[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 55 ]

Нужно найти значение выражения:

[ x - \frac{3}{x}. ]

1. Введем дополнительную переменную

Обозначим:

[ y = x - \frac{3}{x}. ]

Наша цель - найти (y). Для этого возведем (y) в квадрат:

[ y^2 = \left(x - \frac{3}{x}\right)^2. ]

Раскроем квадрат разности:

[ y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + \frac{9}{x^2}. ]

Упростим выражение:

[ y^2 = x^2 + \frac{9}{x^2} - 6. ]

2. Подставим известное значение

Из условия задачи известно, что:

[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 55. ]

Подставим это значение в уравнение для (y^2):

[ y^2 = 55 - 6. ]

Вычислим:

[ y^2 = 49. ]

3. Найдем (y)

Теперь извлечем квадратный корень из (y^2):

[ y = \pm \sqrt{49}. ]

Следовательно:

[ y = \pm 7. ]

4. Ответ

Значение выражения (x - \frac{3}{x}) равно либо (7), либо (-7), в зависимости от значения (x). Но без дополнительных ограничений на (x) оба ответа допустимы.

[ \boxed{7 \text{ или } -7}. ]

Дано уравнение:

[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 55 ]

Чтобы найти значение выражения ( x - \frac{3}{x} ), начнем с того, что введем новую переменную:

[ y = x - \frac{3}{x} ]

Теперь, чтобы выразить ( y ) через ( x^2 ), мы сначала преобразуем ( y^2 ):

[ y^2 = \left( x - \frac{3}{x} \right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + \left( \frac{3}{x} \right)^2 ]

Упрощая это, получаем:

[ y^2 = x^2 - 6 + \frac{9}{x^2} ]

Теперь подставим ( x^2 + \frac{9}{x^2} ) из нашего уравнения:

[ y^2 = (x^2 + \frac{9}{x^2}) - 6 = 55 - 6 = 49 ]

Теперь найдем ( y ):

[ y^2 = 49 \implies y = \pm 7 ]

Таким образом, значение выражения ( x - \frac{3}{x} ) может быть либо ( 7 ), либо ( -7 ).

В заключение, мы получили два возможных значения для ( x - \frac{3}{x} ):

[ x - \frac{3}{x} = 7 \quad \text{или} \quad x - \frac{3}{x} = -7 ]