Известно, что функция y=f(x) убывает на R. Решите неравенство f(|2x-3|)=f(|x+2|). Пожалуйста с подробным...

Для решения неравенства ( f(|2x-3|) = f(|x+2|) ), где функция ( y = f(x) ) убывает на ( \mathbb{R} ), воспользуемся свойством убывающей функции: если ( a < b ), то ( f(a) > f(b) ).

Рассмотрим модули ( |2x-3| ) и ( |x+2| ). Эти выражения могут принимать разные значения в зависимости от значения ( x ). Раскроем модули, рассмотрев несколько случаев:

1. Случай ( x \geq \frac{3}{2} )

Для ( x \geq \frac{3}{2} ), оба выражения раскрываются как: [ |2x-3| = 2x-3, \quad |x+2| = x+2 ]

Поскольку ( f ) убывает, из ( f(2x-3) = f(x+2) ) следует, что ( 2x-3 = x+2 ). Решая это уравнение, получаем: [ 2x - 3 = x + 2 \ 2x - x = 2 + 3 \ x = 5 ]

Проверим, что ( x = 5 ) удовлетворяет условию ( x \geq \frac{3}{2} ). Это верно, следовательно, ( x = 5 ) — решение в этом случае.

2. Случай ( x < -2 )

Для ( x < -2 ), оба выражения раскрываются как: [ |2x-3| = -(2x-3) = -2x+3, \quad |x+2| = -(x+2) = -x-2 ]

Из уравнения ( f(-2x+3) = f(-x-2) ) для убывающей функции следует, что ( -2x+3 = -x-2 ). Решим это уравнение: [ -2x + 3 = -x - 2 \ -2x + x = -2 - 3 \ -x = -5 \ x = 5 ]

Но ( x = 5 ) не удовлетворяет условию ( x < -2 ), поэтому в этом случае решений нет.

3. Случай ( -2 \leq x < \frac{3}{2} )

В этом интервале модули раскрываются по-разному: [ |2x-3| = -(2x-3) = -2x+3, \quad |x+2| = x+2 ]

Из уравнения ( f(-2x+3) = f(x+2) ) следует, что ( -2x+3 = x+2 ). Решаем уравнение: [ -2x + 3 = x + 2 \ -2x - x = 2 - 3 \ -3x = -1 \ x = \frac{1}{3} ]

Проверим, что ( x = \frac{1}{3} ) удовлетворяет условию ( -2 \leq x < \frac{3}{2} ). Это верно.

Итог

Учитывая все случаи, решения уравнения ( f(|2x-3|) = f(|x+2|) ) на множестве действительных чисел — это ( x = 5 ) и ( x = \frac{1}{3} ). Таким образом, ответ: ( x = 5 ) и ( x = \frac{1}{3} ).

Для решения данного неравенства мы можем воспользоваться свойством убывания функции. Поскольку функция убывает на всей числовой прямой, то для любых двух чисел a и b, таких что a < b, выполняется неравенство f(a) > f(b).

Итак, имеем неравенство f(|2x-3|) = f(|x+2|). Разберемся с модулями. Поскольку функция убывает, то |2x-3| < |x+2|. Рассмотрим два случая:

1. Если 2x - 3 < x + 2, то получаем x < 5.
2. Если 2x - 3 > -(x + 2), то получаем x > 1.

Таким образом, решение неравенства f(|2x-3|) = f(|x+2|) - это множество всех x, удовлетворяющих условию 1 < x < 5.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.