Известно, что функция y=f$x$ убывает на R. Решите неравенство f$|2x-3|$=f$|x+2|$. Пожалуйста с подробным...

Для решения неравенства $f(|2x-3|$ = f$|x+2|$ ), где функция $y=f(x$ ) убывает на $\mathbb{R}$, воспользуемся свойством убывающей функции: если $a<b$, то $f(a$ > f$b$ ).

Рассмотрим модули $|2x-3|$ и $|x+2|$. Эти выражения могут принимать разные значения в зависимости от значения $x$. Раскроем модули, рассмотрев несколько случаев:

1. Случай $x\ge \frac{3}{2}$

Для $x\ge \frac{3}{2}$, оба выражения раскрываются как: $|2x-3|=2x-3,|x+2|=x+2$

Поскольку $f$ убывает, из $f(2x-3$ = f$x+2$ ) следует, что $2x-3=x+2$. Решая это уравнение, получаем: $2x-3=x+22x-x=2+3x=5$

Проверим, что $x=5$ удовлетворяет условию $x\ge \frac{3}{2}$. Это верно, следовательно, $x=5$ — решение в этом случае.

2. Случай $x<-2$

Для $x<-2$, оба выражения раскрываются как: $|2x-3|=-(2x-3)=-2x+3,|x+2|=-(x+2)=-x-2$

Из уравнения $f(-2x+3$ = f$-x-2$ ) для убывающей функции следует, что $-2x+3=-x-2$. Решим это уравнение: $-2x+3=-x-2-2x+x=-2-3-x=-5x=5$

Но $x=5$ не удовлетворяет условию $x<-2$, поэтому в этом случае решений нет.

3. Случай $-2\le x<\frac{3}{2}$

В этом интервале модули раскрываются по-разному: $|2x-3|=-(2x-3)=-2x+3,|x+2|=x+2$

Из уравнения $f(-2x+3$ = f$x+2$ ) следует, что $-2x+3=x+2$. Решаем уравнение: $-2x+3=x+2-2x-x=2-3-3x=-1x=\frac{1}{3}$

Проверим, что $x=\frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $-2\le x<\frac{3}{2}$. Это верно.

Итог

Учитывая все случаи, решения уравнения $f(|2x-3|$ = f$|x+2|$ ) на множестве действительных чисел — это $x=5$ и $x=\frac{1}{3}$. Таким образом, ответ: $x=5$ и $x=\frac{1}{3}$.

Для решения данного неравенства мы можем воспользоваться свойством убывания функции. Поскольку функция убывает на всей числовой прямой, то для любых двух чисел a и b, таких что a < b, выполняется неравенство f$a$ > f$b$.

Итак, имеем неравенство f$|2x-3|$ = f$|x+2|$. Разберемся с модулями. Поскольку функция убывает, то |2x-3| < |x+2|. Рассмотрим два случая:

1. Если 2x - 3 < x + 2, то получаем x < 5.
2. Если 2x - 3 > -$x+2$, то получаем x > 1.

Таким образом, решение неравенства f$|2x-3|$ = f$|x+2|$ - это множество всех x, удовлетворяющих условию 1 < x < 5.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.