Изобразите на координатной прямой объединение и пересечение множеств А=(-4;1) и В=(- бесконечность;...

Чтобы изобразить на координатной прямой объединение и пересечение множеств ( A ) и ( B ), сначала определим сами множества.

1. Множество ( A = (-4; 1) ) означает, что ( A ) содержит все числа, которые больше -4 и меньше 1. То есть, ( A ) включает все числа от -4 (не включая -4) до 1 (не включая 1).

2. Множество ( B = (-\infty; 3] ) означает, что ( B ) содержит все числа, которые меньше или равны 3. То есть, ( B ) включает все числа от -бесконечности до 3 (включая 3).

Теперь мы можем найти объединение и пересечение этих множеств.

Пересечение множеств ( A ) и ( B )

Пересечение множеств ( A ) и ( B ), обозначаемое как ( A \cap B ), содержит все элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам.

• Множество ( A ) охватывает интервал от -4 до 1.
• Множество ( B ) охватывает интервал от -бесконечности до 3.

Таким образом, пересечение этих двух множеств будет ограничено значениями от -4 до 1:

[ A \cap B = (-4; 1) ]

Объединение множеств ( A ) и ( B )

Объединение множеств ( A ) и ( B ), обозначаемое как ( A \cup B ), содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

• Множество ( A ) охватывает интервал от -4 до 1.
• Множество ( B ) охватывает интервал от -бесконечности до 3.

Поскольку ( B ) охватывает все числа до 3, а ( A ) добавляет еще часть чисел между -4 и 1, объединение будет от -бесконечности до 3:

[ A \cup B = (-\infty; 3] ]

Итоговый ответ

Итак, в результате:

• Пересечение: ( A \cap B = (-4; 1) )
• Объединение: ( A \cup B = (-\infty; 3] )

Графическое представление

На координатной прямой это можно изобразить следующим образом:

• Для множества ( A ) (отметьте открытые круги на -4 и 1, и закрасьте область между ними).
• Для множества ( B ) (поставьте закрашенный круг на 3 и закрасьте всю область до -бесконечности).

Затем для пересечения выделите область между -4 и 1, а для объединения закрасьте все от -бесконечности до 3.

Объединение множеств ( A ) и ( B ) обозначается как ( A \cup B ).

Для ( A = (-4; 1) ) и ( B = (-\infty; 3] ) объединение будет: [ A \cup B = (-\infty; 3] ]

Пересечение множеств ( A ) и ( B ) обозначается как ( A \cap B ).

Пересечение будет: [ A \cap B = (-4; 1) \cap (-\infty; 3] = (-4; 1) ]

Таким образом:

• Объединение: ( (-\infty; 3] )
• Пересечение: ( (-4; 1) )

Для того чтобы изобразить объединение и пересечение множеств ( A = (-4; 1) ) и ( B = (-\infty; 3] ), давайте последовательно разберем, что представляют собой эти множества, и как находить их объединение и пересечение.

Шаг 1. Декодируем множества ( A ) и ( B ) на числовой прямой

1. Множество ( A = (-4; 1) ):

   • Интервал от (-4) до (1), где:
     • (-4) не включается (закрытая точка на числовой прямой).
     • (1) также не включается.
   • Это означает, что ( A ) — это все числа, лежащие между (-4) и (1), не включая сами границы.

2. Множество ( B = (-\infty; 3] ):

   • Полуинтервал от (-\infty) до (3), где:
     • (3) включается (отмечается заполненной точкой на числовой прямой).
     • (-\infty) — не обозначает конкретное число, а указывает, что ( B ) охватывает все числа, меньшие или равные (3).

Шаг 2. Определяем объединение множеств ( A \cup B )

Объединение двух множеств ( A \cup B ) содержит все числа, которые принадлежат хотя бы одному из них. То есть, нужно объединить интервал ( A = (-4; 1) ) с интервалом ( B = (-\infty; 3] ).

1. Множество ( B ) начинается с (-\infty) и заканчивается на (3] (включая (3)).
2. Множество ( A ) лежит полностью внутри множества ( B ), так как оно от (-4) до (1) (все эти числа входят в ( B )).
3. Значит, объединение будет совпадать с границами множества ( B ), так как ( B ) полностью охватывает ( A ).

Ответ: [ A \cup B = (-\infty; 3]. ]

На числовой прямой это изображается как линия, начинающаяся от (-\infty) (стрелка влево) и заканчивающаяся в точке (3), которая закрашена (включена).

Шаг 3. Определяем пересечение множеств ( A \cap B )

Пересечение двух множеств ( A \cap B ) содержит только те числа, которые одновременно принадлежат и ( A ), и ( B ). Чтобы найти пересечение, нужно определить общую часть интервалов ( A = (-4; 1) ) и ( B = (-\infty; 3] ).

1. Множество ( A = (-4; 1) ) ограничено числами от (-4) до (1), крайние точки не включены.
2. Множество ( B = (-\infty; 3] ) охватывает все числа до (3), включая (3).
3. Общая часть — это числа, которые входят в оба интервала:
   • Нижняя граница пересечения будет (-4) (не включается, так как в ( A ) (-4) не входит).
   • Верхняя граница пересечения будет (1), так как ( A ) заканчивается на (1) (не включается).

Ответ: [ A \cap B = (-4; 1). ]

На числовой прямой это изображается как линия от (-4) до (1), где обе границы (точки (-4) и (1)) не включены.

Итоговые ответы:

1. Объединение ( A \cup B ): [ (-\infty; 3]. ] На координатной прямой: линия от (-\infty) до (3], где точка (3) включена.

2. Пересечение ( A \cap B ): [ (-4; 1). ] На координатной прямой: линия от (-4) до (1), где обе границы не включены.

Визуализация:

1. Объединение ( A \cup B ):

   |---------------------●
   -∞                  3
   

2. Пересечение ( A \cap B ):

        (---------)
       -4         1