Из двух сёл, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста...

Обозначим скорость первого велосипедиста через (v_1), а второго - через (v_2). Пусть расстояние между сёлами равно (d = 9) км.

Когда велосипедисты ехали навстречу друг другу, их скорости складываются, поэтому уравнение будет иметь вид: [20(v_1 + v_2) = 9]

Когда велосипедисты ехали в одном направлении, их скорости вычитаются, поэтому уравнение будет иметь вид: [3(v_1 - v_2) = 9]

Теперь решим систему уравнений. Для этого выразим (v_1) и (v_2) из уравнений:

[v_1 + v_2 = \frac{9}{20}]

[v_1 - v_2 = 3]

Сложим два уравнения:

[2v_1 = \frac{9}{20} + 3]

[v_1 = \frac{9}{40} + \frac{60}{40} = \frac{69}{40}]

Подставим (v_1 = \frac{69}{40}) в любое из уравнений, чтобы найти (v_2):

[\frac{69}{40} + v_2 = \frac{9}{20}]

[v_2 = \frac{9}{20} - \frac{69}{40} = \frac{36}{40} - \frac{69}{40} = -\frac{33}{40}]

Таким образом, скорость первого велосипедиста (v_1 = \frac{69}{40}) км/ч, а скорость второго велосипедиста (v_2 = -\frac{33}{40}) км/ч. Отрицательный знак скорости второго велосипедиста говорит о том, что он движется в обратном направлении.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• ( v_1 ) — скорость первого велосипедиста (в км/ч).
• ( v_2 ) — скорость второго велосипедиста (в км/ч).

Шаг 1: Определим уравнение для встречи.

Когда велосипедисты едут навстречу друг другу и встречаются через 20 минут, их суммарная скорость равна отношению расстояния между селами к времени до встречи.

Заметим, что 20 минут — это (\frac{20}{60} = \frac{1}{3}) часа.

Сумма их скоростей равна:

[ v_1 + v_2 = \frac{9 \, \text{км}}{\frac{1}{3} \, \text{ч}} = 27 \, \text{км/ч} ]

Шаг 2: Определим уравнение для догоняния.

Если велосипедисты едут в одном направлении, один догоняет другого через 3 часа. Это значит, что разница их скоростей позволяет одному догнать другого за 3 часа на 9 км.

Следовательно, разность скоростей равна:

[ |v_1 - v_2| = \frac{9 \, \text{км}}{3 \, \text{ч}} = 3 \, \text{км/ч} ]

Теперь у нас есть система уравнений:

[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \ |v_1 - v_2| = 3 \end{cases} ]

Шаг 3: Решим систему уравнений.

Рассмотрим два случая:

1. ( v_1 - v_2 = 3 )
2. ( v_2 - v_1 = 3 )

Случай 1: ( v_1 - v_2 = 3 )

[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \ v_1 - v_2 = 3 \end{cases} ]

Сложим уравнения:

[ 2v_1 = 30 \implies v_1 = 15 ]

Подставим ( v_1 = 15 ) в первое уравнение:

[ 15 + v_2 = 27 \implies v_2 = 12 ]

Случай 2: ( v_2 - v_1 = 3 )

[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \ v_2 - v_1 = 3 \end{cases} ]

Сложим уравнения:

[ 2v_2 = 30 \implies v_2 = 15 ]

Подставим ( v_2 = 15 ) в первое уравнение:

[ v_1 + 15 = 27 \implies v_1 = 12 ]

Таким образом, скорости велосипедистов равны ( v_1 = 15 \, \text{км/ч} ) и ( v_2 = 12 \, \text{км/ч} ) (либо наоборот).