Из 100 изготовленных деталей 10 имеют деффект.Для проверки были отобраны 5 деталей.Найти вероятность...

Для решения задачи будем использовать гипергеометрическое распределение. Это распределение описывает вероятность k успехов (в данном контексте — бракованных деталей) в n отобранных элементах без возвращения из конечной совокупности, содержащей K "успехов" из N элементов.

В нашей задаче:

• N = 100 (всего деталей),
• K = 10 (бракованных деталей),
• n = 5 (отобранных деталей).

Формула гипергеометрического распределения для вероятности того, что среди n отобранных элементов будет k "успехов", выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} ]

где (\binom{a}{b}) — это биномиальный коэффициент, который равен числу способов выбрать b элементов из a.

а) Вероятность того, что среди отобранных деталей 1 бракованная:

Здесь k = 1.

[ P(X = 1) = \frac{\binom{10}{1} \cdot \binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} ]

Рассчитаем каждый из биномиальных коэффициентов:

• (\binom{10}{1} = 10)
• (\binom{90}{4} = \frac{90 \times 89 \times 88 \times 87}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,913,240)
• (\binom{100}{5} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times 96}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 75,287,520)

Подставим значения в формулу:

[ P(X = 1) = \frac{10 \times 2,913,240}{75,287,520} = \frac{29,132,400}{75,287,520} \approx 0.386 ]

б) Вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных:

Здесь k = 0.

[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{0} \cdot \binom{90}{5}}{\binom{100}{5}} ]

Рассчитаем каждый из биномиальных коэффициентов:

• (\binom{10}{0} = 1)
• (\binom{90}{5} = \frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 43,949,268)

Подставим значения в формулу:

[ P(X = 0) = \frac{1 \times 43,949,268}{75,287,520} = \frac{43,949,268}{75,287,520} \approx 0.584 ]

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных деталей одна бракованная, составляет примерно 0.386, а вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, составляет примерно 0.584.

а) Для нахождения вероятности того, что среди отобранных 5 деталей будет 1 бракованная, мы можем воспользоваться формулой для вероятности события A из n испытаний (в данном случае n = 100):

P(A) = (C(k, m) * C(n-k, m-k)) / C(n, m),

где C(k, m) - количество способов выбрать k элементов из m, а m - количество элементов в множестве.

Таким образом, вероятность того, что среди 5 отобранных деталей будет 1 бракованная, равна:

P(1 бракованная) = (C(1, 10) C(4, 90)) / C(100, 5) = (10 715) / 752875 = 7150 / 752875 ≈ 0.0095.

б) Для нахождения вероятности того, что среди отобранных 5 деталей не будет ни одной дефектной, мы можем воспользоваться формулой для вероятности дополнения события A до пространства элементарных событий:

P(A') = 1 - P(A),

где P(A) - вероятность события A.

Таким образом, вероятность того, что среди 5 отобранных деталей не будет ни одной дефектной, равна:

P(нет дефектных) = 1 - P(1 бракованная) ≈ 1 - 0.0095 = 0.9905.