Исследуйте на экстремум f(x)=x^2-8x+12

Для исследования функции ( f(x) = x^2 - 8x + 12 ) на экстремум, мы будем использовать метод нахождения критических точек с помощью производной. Вот пошаговое руководство:

1. Найдем первую производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 8x + 12) = 2x - 8 ]

2. Найдем критические точки: Для этого приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: [ 2x - 8 = 0 ] [ 2x = 8 ] [ x = 4 ] Таким образом, ( x = 4 ) является критической точкой.

3. Определим, является ли данная критическая точка точкой минимума или максимума: Для этого найдем вторую производную функции ( f(x) ): [ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 8x + 12) = 2 ] Вторая производная равна 2 и является положительной на всем множестве действительных чисел. Если вторая производная положительна в критической точке, то функция имеет минимум в этой точке.

4. Найдем значение функции в критической точке: Подставим ( x = 4 ) в исходную функцию: [ f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 ]

Таким образом, функция ( f(x) = x^2 - 8x + 12 ) имеет точку минимума при ( x = 4 ), и значение функции в этой точке равно (-4).

Вывод: Функция ( f(x) = x^2 - 8x + 12 ) достигает минимума при ( x = 4 ), и минимальное значение функции равно (-4).

Для исследования на экстремум функции f(x)=x^2-8x+12 необходимо найти производную и приравнять ее к нулю. Получаем f'(x)=2x-8=0, x=4. Проведя тест знаков, находим, что в точке x=4 функция имеет локальный минимум.

Для того чтобы исследовать функцию f(x) = x^2 - 8x + 12 на экстремумы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции: f'(x) = 2x - 8.
2. Найдем точки, где производная равна нулю: 2x - 8 = 0 => x = 4.
3. Теперь найдем значение функции в найденной точке: f(4) = 4^2 - 8*4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4.
4. Чтобы определить тип экстремума, нужно проанализировать знак производной в окрестности найденной точки:
   • Если производная меняет знак с "плюс" на "минус", то это экстремум максимума.
   • Если производная меняет знак с "минус" на "плюс", то это экстремум минимума.
   • Если производная не меняет знак, то экстремума нет.

Подставив значение x = 4 в производную, получаем: f'(4) = 2*4 - 8 = 0. Поскольку производная равна нулю, то нельзя однозначно определить тип экстремума. Для этого нужно провести дополнительные исследования.