Исследуйте функцию на чётность и периодичность; укажите основной период, если он существует а) y=sinx+cosx...

Давайте исследуем функции на четность и периодичность по очереди.

а) ( y = \sin x + \cos x )

Четность: Функция ( f(x) = \sin x + \cos x ) считается четной, если выполняется условие ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ).

1. Вычислим ( f(-x) ): [ f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x ]
2. Сравним ( f(-x) ) и ( f(x) ): [ f(-x) = -\sin x + \cos x \neq \sin x + \cos x = f(x) ] Таким образом, функция ( y = \sin x + \cos x ) не является четной.

Теперь проверим, является ли функция нечетной, для чего должно выполняться условие ( f(-x) = -f(x) ).

1. Вычислим ( -f(x) ): [ -f(x) = -(\sin x + \cos x) = -\sin x - \cos x ]
2. Сравним ( f(-x) ) и ( -f(x) ): [ f(-x) = -\sin x + \cos x \neq -\sin x - \cos x = -f(x) ] Таким образом, функция также не является нечетной.

Периодичность: Функция ( y = \sin x + \cos x ) является периодической. Периоды функций ( \sin x ) и ( \cos x ) равны ( 2\pi ). Для нахождения основного периода ( T ) функции ( y ) проверим, существует ли такое ( T ), что: [ \sin(x + T) + \cos(x + T) = \sin x + \cos x ] Подставим ( T = 2\pi ): [ \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi) = \sin x + \cos x ] Это равенство выполняется, следовательно, основной период функции ( y = \sin x + \cos x ) равен ( 2\pi ).

б) ( y = x^2 + |\sin x| )

Четность: Функция ( g(x) = x^2 + |\sin x| ) считается четной, если выполняется условие ( g(-x) = g(x) ).

1. Вычислим ( g(-x) ): [ g(-x) = (-x)^2 + |\sin(-x)| = x^2 + |\sin x| ]
2. Сравним ( g(-x) ) и ( g(x) ): [ g(-x) = x^2 + |\sin x| = g(x) ] Таким образом, функция ( y = x^2 + |\sin x| ) является четной.

Периодичность: Для функции ( y = x^2 + |\sin x| ) проверим, существует ли период ( T ):

• Поскольку ( x^2 ) является неограниченной и не периодической функцией, а ( |\sin x| ) имеет период ( 2\pi ), то сумма этих функций не может быть периодической.
• Таким образом, функция ( y = x^2 + |\sin x| ) не имеет периодов.

Итог:

а) ( y = \sin x + \cos x ):

• Не четная, не нечетная.
• Основной период ( T = 2\pi ).

б) ( y = x^2 + |\sin x| ):

• Четная функция.
• Не имеет периода.

Исследуем функции на чётность, нечётность и периодичность. Для каждой функции проведём подробный анализ.

1. Функция ( y = \sin x + \cos x )

Чётность/нечётность:

Для проверки чётности или нечётности функции необходимо заменить ( x ) на ( -x ) в выражении для функции и сравнить результат с исходной функцией.

[ y = \sin(-x) + \cos(-x) ]

Используем свойства тригонометрических функций:

• ( \sin(-x) = -\sin(x) ) (нечётная функция),
• ( \cos(-x) = \cos(x) ) (чётная функция).

Тогда: [ y(-x) = -\sin(x) + \cos(x) ]

Сравним ( y(-x) ) с ( y(x) ):

• ( y(-x) \neq y(x) ), значит, функция не чётная.
• ( y(-x) \neq -y(x) ), значит, функция не нечётная.

Вывод: ( y = \sin x + \cos x ) не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодичность:

Определим, является ли функция периодической. Функция ( \sin x ) и ( \cos x ) имеют основной период ( 2\pi ). Сумма двух периодических функций с одинаковым периодом также будет периодической с этим же периодом (если их периоды одинаковы и кратны друг другу).

Проверим: [ y(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi) ]

Используем свойства периодичности тригонометрических функций:

• ( \sin(x + 2\pi) = \sin x ),
• ( \cos(x + 2\pi) = \cos x ).

Тогда: [ y(x + 2\pi) = \sin x + \cos x = y(x) ]

Следовательно, функция ( y = \sin x + \cos x ) периодическая с основным периодом ( T = 2\pi ).

2. Функция ( y = x^2 + |\sin x| )

Чётность/нечётность:

Для проверки чётности/нечётности подставим ( -x ) вместо ( x ) в выражение для функции:

[ y(-x) = (-x)^2 + |\sin(-x)| ]

Используем свойства:

• ( (-x)^2 = x^2 ),
• ( |\sin(-x)| = |\sin(x)| ) (модуль синуса не зависит от знака аргумента).

Тогда: [ y(-x) = x^2 + |\sin(x)| ]

Сравним ( y(-x) ) с ( y(x) ):

• ( y(-x) = y(x) ), значит, функция чётная.

Вывод: ( y = x^2 + |\sin x| ) является чётной функцией.

Периодичность:

Функция состоит из двух частей: ( x^2 ) и ( |\sin x| ).

1. ( x^2 ) — парабола, не является периодической функцией (значения ( x^2 ) не повторяются на промежутках).
2. ( |\sin x| ) — периодическая функция с периодом ( T = \pi ) (модуль синуса повторяется каждые ( \pi )).

Однако сумма периодической и непериодической функций не может быть периодической, так как часть ( x^2 ) не повторяется.

Вывод: ( y = x^2 + |\sin x| ) не является периодической функцией.

Итоговые выводы:

а) Для функции ( y = \sin x + \cos x ):

• Функция не чётная и не нечётная.
• Функция периодическая с основным периодом ( T = 2\pi ).

б) Для функции ( y = x^2 + |\sin x| ):

• Функция чётная.
• Функция не периодическая.