Исследуйте функцию на чётность и периодичность; укажите основной период, если он существует а) y=sinx+cosx...

Давайте исследуем функции на четность и периодичность по очереди.

а) $y=\sin x+\cos x$

Четность: Функция $f(x$ = \sin x + \cos x ) считается четной, если выполняется условие $f(-x$ = f$x$ ) для всех $x$.

1. Вычислим $f(-x$ ): $f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$
2. Сравним $f(-x$ ) и $f(x$ ): $f(-x)=-\sin x+\cos x\ne \sin x+\cos x=f(x)$ Таким образом, функция $y=\sin x+\cos x$ не является четной.

Теперь проверим, является ли функция нечетной, для чего должно выполняться условие $f(-x$ = -f$x$ ).

1. Вычислим $-f(x$ ): $-f(x)=-(\sin x+\cos x)=-\sin x-\cos x$
2. Сравним $f(-x$ ) и $-f(x$ ): $f(-x)=-\sin x+\cos x\ne -\sin x-\cos x=-f(x)$ Таким образом, функция также не является нечетной.

Периодичность: Функция $y=\sin x+\cos x$ является периодической. Периоды функций $\sin x$ и $\cos x$ равны $2\pi$. Для нахождения основного периода $T$ функции $y$ проверим, существует ли такое $T$, что: $\sin (x+T)+\cos (x+T)=\sin x+\cos x$ Подставим $T=2\pi$: $\sin (x+2\pi )+\cos (x+2\pi )=\sin x+\cos x$ Это равенство выполняется, следовательно, основной период функции $y=\sin x+\cos x$ равен $2\pi$.

б) $y=x^2+|\sin x|$

Четность: Функция $g(x$ = x^2 + |\sin x| ) считается четной, если выполняется условие $g(-x$ = g$x$ ).

1. Вычислим $g(-x$ ): $g(-x)=(-x{)}^2+|\sin (-x)|=x^2+|\sin x|$
2. Сравним $g(-x$ ) и $g(x$ ): $g(-x)=x^2+|\sin x|=g(x)$ Таким образом, функция $y=x^2+|\sin x|$ является четной.

Периодичность: Для функции $y=x^2+|\sin x|$ проверим, существует ли период $T$:

• Поскольку $x^2$ является неограниченной и не периодической функцией, а $|\sin x|$ имеет период $2\pi$, то сумма этих функций не может быть периодической.
• Таким образом, функция $y=x^2+|\sin x|$ не имеет периодов.

Итог:

а) $y=\sin x+\cos x$:

• Не четная, не нечетная.
• Основной период $T=2\pi$.

б) $y=x^2+|\sin x|$:

• Четная функция.
• Не имеет периода.

Исследуем функции на чётность, нечётность и периодичность. Для каждой функции проведём подробный анализ.

1. Функция $y=\sin x+\cos x$

Чётность/нечётность:

Для проверки чётности или нечётности функции необходимо заменить $x$ на $-x$ в выражении для функции и сравнить результат с исходной функцией.

$y=\sin (-x)+\cos (-x)$

Используем свойства тригонометрических функций:

• $\sin (-x$ = -\sin$x$ ) $нечётнаяфункция$,
• $\cos (-x$ = \cos$x$ ) $чётнаяфункция$.

Тогда: $y(-x)=-\sin (x)+\cos (x)$

Сравним $y(-x$ ) с $y(x$ ):

• $y(-x$ \neq y$x$ ), значит, функция не чётная.
• $y(-x$ \neq -y$x$ ), значит, функция не нечётная.

Вывод: $y=\sin x+\cos x$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодичность:

Определим, является ли функция периодической. Функция $\sin x$ и $\cos x$ имеют основной период $2\pi$. Сумма двух периодических функций с одинаковым периодом также будет периодической с этим же периодом $еслиихпериодыодинаковыикратныдругдругу$.

Проверим: $y(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )+\cos (x+2\pi )$

Используем свойства периодичности тригонометрических функций:

• $\sin (x+2\pi$ = \sin x ),
• $\cos (x+2\pi$ = \cos x ).

Тогда: $y(x+2\pi )=\sin x+\cos x=y(x)$

Следовательно, функция $y=\sin x+\cos x$ периодическая с основным периодом $T=2\pi$.

2. Функция $y=x^2+|\sin x|$

Чётность/нечётность:

Для проверки чётности/нечётности подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$y(-x)=(-x{)}^2+|\sin (-x)|$

Используем свойства:

• $(-x$^2 = x^2 ),
• $|\sin (-x$| = |\sin$x$| ) $модульсинусанезависитотзнакааргумента$.

Тогда: $y(-x)=x^2+|\sin (x)|$

Сравним $y(-x$ ) с $y(x$ ):

• $y(-x$ = y$x$ ), значит, функция чётная.

Вывод: $y=x^2+|\sin x|$ является чётной функцией.

Периодичность:

Функция состоит из двух частей: $x^2$ и $|\sin x|$.

1. $x^2$ — парабола, не является периодической функцией $значения(x^2$ не повторяются на промежутках).
2. $|\sin x|$ — периодическая функция с периодом $T=\pi$ $модульсинусаповторяетсякаждые(\pi$).

Однако сумма периодической и непериодической функций не может быть периодической, так как часть $x^2$ не повторяется.

Вывод: $y=x^2+|\sin x|$ не является периодической функцией.

Итоговые выводы:

а) Для функции $y=\sin x+\cos x$:

• Функция не чётная и не нечётная.
• Функция периодическая с основным периодом $T=2\pi$.

б) Для функции $y=x^2+|\sin x|$:

• Функция чётная.
• Функция не периодическая.