Исследуйте функцию и постройте её график y=2x^3+x^2-8x-7 можете решить и сфотать ?пожалуйста

Конечно, я могу помочь с исследованием функции ( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 ). Давайте проведем исследование этой функции шаг за шагом:

1. Область определения функции

Функция ( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 ) является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа ( \mathbb{R} ).

2. Нули функции (точки пересечения с осью X)

Для нахождения нулей функции решим уравнение ( 2x^3 + x^2 - 8x - 7 = 0 ).

Этот кубический уравнение может быть решено аналитически или численно. В данном случае проще воспользоваться численными методами или графиками.

3. Производная функции (поиск критических точек)

Найдём первую производную функции для определения критических точек:

[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + x^2 - 8x - 7) ] [ y' = 6x^2 + 2x - 8 ]

4. Нули первой производной (поиск критических точек)

Решим уравнение ( 6x^2 + 2x - 8 = 0 ):

Дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8) = 4 + 192 = 196 ]

Корни:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{12} = \frac{-2 \pm 14}{12} ]

[ x_1 = 1 ] [ x_2 = -\frac{4}{3} ]

5. Вторая производная (исследование на выпуклость и вогнутость)

Найдём вторую производную:

[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 + 2x - 8) ] [ y'' = 12x + 2 ]

6. Знаки второй производной в критических точках

Проверим знак второй производной в критических точках:

Для ( x = 1 ): [ y''(1) = 12 \cdot 1 + 2 = 14 ] (положительная, значит ( x = 1 ) — точка минимума)

Для ( x = -\frac{4}{3} ): [ y''\left(-\frac{4}{3}\right) = 12 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + 2 = -16 + 2 = -14 ] (отрицательная, значит ( x = -\frac{4}{3} ) — точка максимума)

7. Поведение функции на бесконечности

Поскольку старший член многочлена ( 2x^3 ), функция при ( x \to \pm\infty ) будет вести себя следующим образом:

• При ( x \to +\infty ), ( y \to +\infty ).
• При ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

8. Построение графика

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, построим график функции ( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 ), учитывая критические точки и точки пересечения с осями.

К сожалению, я не могу предоставить фото, но вы можете воспользоваться графическим калькулятором или программным обеспечением, таким как Desmos или GeoGebra, чтобы построить график.

1. Введите функцию ( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 ).
2. Отметьте критические точки ( x = 1 ) и ( x = -\frac{4}{3} ).
3. Посмотрите, где функция пересекает ось X (найденные нули).
4. Обратите внимание на поведение функции на больших и малых значениях ( x ).

Таким образом, вы получите полное представление о графике функции.

Для исследования функции y=2x^3+x^2-8x-7 нужно найти её производные, нули производных, точки экстремума, интервалы монотонности и выпуклости, а также построить график функции. Я могу помочь с решением, но не могу предоставить фотографию.

Для начала исследуем функцию y=2x^3+x^2-8x-7 на экстремумы. Найдем производную функции: y'=6x^2+2x-8

Далее найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 6x^2+2x-8=0 Дискриминант D=2^2-46(-8)=4+192=196 x=(-2±√196)/12=(-2±14)/12 Таким образом, x1=(-2+14)/12=1, x2=(-2-14)/12=-1

Подставляем найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: y(1)=21^3+1^2-81-7=2+1-8-7=-12 y(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-8(-1)-7=-2+1+8-7=0

Таким образом, точки экстремума у функции y=2x^3+x^2-8x-7: (-1, 0) и (1, -12).

Теперь исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого найдем вторую производную и проверим ее знак в точках экстремума: y''=12x+2

y''(-1)=12(-1)+2=-10 < 0 (вогнутость) y''(1)=121+2=14 > 0 (выпуклость)

Таким образом, функция y=2x^3+x^2-8x-7 имеет точки экстремума в точках (-1, 0) и (1, -12), а также выпуклая вогнутость в точке (-1, 0) и выпуклость в точке (1, -12).

График функции y=2x^3+x^2-8x-7 будет представлен на рисунке. Я могу описать график словами, но к сожалению, я не могу предоставить вам фотографию.