Исследуйте функцию и постройте её график:
у=x³+x²-x-1
Должна быть табличка, интервалы, ну, вы понимаете.
Исследуйте функцию и постройте её график:
у=x³+x²-x-1
Должна быть табличка, интервалы, ну, вы понимаете.
Исследуем функцию ( y = x^3 + x^2 - x - 1 ) и построим её график. Для этого определим основные характеристики функции: найдем ее производные, критические точки, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба и асимптоты (если есть), а также построим таблицу значений.
[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - x - 1) = 3x^2 + 2x - 1 ]
Для этого решим уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 + 2x - 1 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6} ]
Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1 ]
Для этого определим знак первой производной на интервалах, разделённых критическими точками ( x = -1 ) и ( x = \frac{1}{3} ).
Для интервала ( (-\infty, -1) ): Подставим ( x = -2 ) в первую производную: [ y'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 ] ( y' > 0 ), значит, на интервале ( (-\infty, -1) ) функция возрастает.
Для интервала ( (-1, \frac{1}{3}) ): Подставим ( x = 0 ) в первую производную: [ y'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1 = -1 ] ( y' < 0 ), значит, на интервале ( (-1, \frac{1}{3}) ) функция убывает.
Для интервала ( (\frac{1}{3}, \infty) ): Подставим ( x = 1 ) в первую производную: [ y'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 ] ( y' > 0 ), значит, на интервале ( (\frac{1}{3}, \infty) ) функция возрастает.
[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x - 1) = 6x + 2 ]
Для этого решим уравнение ( y'' = 0 ): [ 6x + 2 = 0 ] [ x = -\frac{1}{3} ]
Для интервала ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ): Подставим ( x = -1 ) в вторую производную: [ y''(-1) = 6(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 ] ( y'' < 0 ), значит, на интервале ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) функция вогнута.
Для интервала ( (-\frac{1}{3}, \infty) ): Подставим ( x = 0 ) в вторую производную: [ y''(0) = 6(0) + 2 = 2 ] ( y'' > 0 ), значит, на интервале ( (-\frac{1}{3}, \infty) ) функция выпукла.
Точку ( x = -\frac{1}{3} ) можно считать точкой перегиба.
| ( x ) | ( y ) |
|---|---|
| -2 | -1 |
| -1 | 0 |
| -(\frac{1}{3}) | -(\frac{26}{27}) |
| 0 | -1 |
| (\frac{1}{3}) | -(\frac{20}{27}) |
| 1 | 0 |
| 2 | 9 |
С учётом этих данных, можно построить график функции ( y = x^3 + x^2 - x - 1 ), который будет выглядеть следующим образом:
.
Функция имеет две критические точки (минимум и максимум) и одну точку перегиба.
Для исследования функции y=x³+x²-x-1 необходимо выполнить следующие шаги:
Найдем точки пересечения с осями координат: y=0 при x³+x²-x-1=0 Для этого можно воспользоваться методом подбора корней или численными методами. Найдем корни этого уравнения: x=1, x=-1, x=-1.
Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = 3x² + 2x - 1 3x² + 2x - 1 = 0 Найдем корни этого уравнения: x=1, x=-1/3.
Найдем точки перегиба функции: Для этого найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю: y'' = 6x + 2 6x + 2 = 0 Найдем корень этого уравнения: x=-1/3.
Построим таблицу значений функции на интервалах между найденными точками (например, от x=-2 до x=2) и построим график функции.
Таблица значений функции: x | y -2 | -9 -1 | -3 0 | -1 1 | 0 2 | 7
График функции y=x³+x²-x-1:
(вставьте сюда график функции)
