Исследуйте функцию и постройте её график: у=x³+x²-x-1 Должна быть табличка, интервалы, ну, вы понимаете.

Исследуем функцию $y=x^3+x^2-x-1$ и построим её график. Для этого определим основные характеристики функции: найдем ее производные, критические точки, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба и асимптоты $еслиесть$, а также построим таблицу значений.

1. Найдём первую производную функции:

$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^3+x^2-x-1)=3x^2+2x-1$

2. Найдём критические точки:

Для этого решим уравнение $y^{\prime }=0$: $3x^2+2x-1=0$

Решим квадратное уравнение: $x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{6}=\frac{-2\pm 4}{6}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},x_2=\frac{-6}{6}=-1$

3. Исследуем интервалы возрастания и убывания:

Для этого определим знак первой производной на интервалах, разделённых критическими точками $x=-1$ и $x=\frac{1}{3}$.

• Для интервала $(-\mathrm{\infty },-1$ ): Подставим $x=-2$ в первую производную: $y^{\prime }(-2)=3(-2{)}^2+2(-2)-1=12-4-1=7$ $y^{\prime }>0$, значит, на интервале $(-\mathrm{\infty },-1$ ) функция возрастает.

• Для интервала $(-1,\frac{1}{3}$ ): Подставим $x=0$ в первую производную: $y^{\prime }(0)=3(0{)}^2+2(0)-1=-1$ $y^{\prime }<0$, значит, на интервале $(-1,\frac{1}{3}$ ) функция убывает.

• Для интервала $(\frac{1}{3},\mathrm{\infty }$ ): Подставим $x=1$ в первую производную: $y^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2(1)-1=3+2-1=4$ $y^{\prime }>0$, значит, на интервале $(\frac{1}{3},\mathrm{\infty }$ ) функция возрастает.

4. Найдём вторую производную функции:

$y^{″}=\frac{d}{dx}(3x^2+2x-1)=6x+2$

5. Найдём точки перегиба:

Для этого решим уравнение $y^{″}=0$: $6x+2=0$ $x=-\frac{1}{3}$

6. Определим знак второй производной на интервалах:

• Для интервала $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{3}$ ): Подставим $x=-1$ в вторую производную: $y^{″}(-1)=6(-1)+2=-6+2=-4$ $y^{″}<0$, значит, на интервале $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{3}$ ) функция вогнута.

• Для интервала $(-\frac{1}{3},\mathrm{\infty }$ ): Подставим $x=0$ в вторую производную: $y^{″}(0)=6(0)+2=2$ $y^{″}>0$, значит, на интервале $(-\frac{1}{3},\mathrm{\infty }$ ) функция выпукла.

Точку $x=-\frac{1}{3}$ можно считать точкой перегиба.

7. Построим таблицу значений:

8. Построим график:

• На интервале $(-\mathrm{\infty },-1$ ) функция возрастает.
• На интервале $(-1,\frac{1}{3}$ ) функция убывает.
• На интервале $(\frac{1}{3},\mathrm{\infty }$ ) функция возрастает.
• В точке $x=-\frac{1}{3}$ функция имеет перегиб.

С учётом этих данных, можно построить график функции $y=x^3+x^2-x-1$, который будет выглядеть следующим образом:

.

Функция имеет две критические точки $минимумимаксимум$ и одну точку перегиба.

Для исследования функции y=x³+x²-x-1 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат: y=0 при x³+x²-x-1=0 Для этого можно воспользоваться методом подбора корней или численными методами. Найдем корни этого уравнения: x=1, x=-1, x=-1.

2. Найдем экстремумы функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = 3x² + 2x - 1 3x² + 2x - 1 = 0 Найдем корни этого уравнения: x=1, x=-1/3.

3. Найдем точки перегиба функции: Для этого найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю: y'' = 6x + 2 6x + 2 = 0 Найдем корень этого уравнения: x=-1/3.

4. Построим таблицу значений функции на интервалах между найденными точками $например,отx=-2доx=2$ и построим график функции.

Таблица значений функции: x | y -2 | -9 -1 | -3 0 | -1 1 | 0 2 | 7

График функции y=x³+x²-x-1:

$вставьтесюдаграфикфункции$