Исследуйте функцию и постройте её график у=3+2х-х^2

Для исследования функции y = 3 + 2x - x^2 сначала найдем ее производные.

Производная функции y по x равна y' = 2 - 2x.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2 - 2x = 0, 2 = 2x, x = 1.

Точка x = 1 является точкой экстремума. Подставим эту точку в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y: y = 3 + 2(1) - (1)^2, y = 3 + 2 - 1, y = 4.

Таким образом, точка экстремума функции y = 3 + 2x - x^2 равна (1, 4).

Чтобы построить график функции, можно использовать найденную точку экстремума и информацию о том, что коэффициент при x^2 отрицателен (функция открывается вниз). График будет представлять собой параболу, вершина которой находится в точке (1, 4).

Конечно, давайте исследуем функцию ( y = 3 + 2x - x^2 ) и построим её график.

1. Определение области определения функции

Функция ( y = 3 + 2x - x^2 ) является многочленом второй степени, то есть квадратичной функцией. Многочлены определены на всей числовой прямой, поэтому область определения функции: ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нахождение вершины параболы

Функция ( y = 3 + 2x - x^2 ) описывает параболу, которая открывается вниз (так как коэффициент перед ( x^2 ) отрицательный). Общая форма квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) позволяет найти координаты вершины параболы:

• ( a = -1 )
• ( b = 2 )
• ( c = 3 )

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 ]

Подставим ( x_v = 1 ) в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины: [ y_v = 3 + 2 \times 1 - 1^2 = 3 + 2 - 1 = 4 ]

Таким образом, координаты вершины: ( (1, 4) ).

3. Нахождение пересечений с осями координат

• Пересечение с осью ( y ): Подставляем ( x = 0 ): [ y = 3 + 2 \times 0 - 0^2 = 3 ] Точка пересечения: ( (0, 3) ).

• Пересечение с осью ( x ): Решаем уравнение ( 3 + 2x - x^2 = 0 ): [ -x^2 + 2x + 3 = 0 ] Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = -1 ), ( b = 2 ), ( c = 3 ).

  [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times (-1) \times 3}}{2 \times (-1)} ] [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} ] [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} ] [ x = \frac{-2 \pm 4}{-2} ]

  Решения: [ x_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1 ] [ x_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 ]

  Точки пересечения с осью ( x ): ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) ).

4. Построение графика

График функции — это парабола, открытая вниз. Основные точки для построения:

• Вершина: ( (1, 4) )
• Пересечения с осями: ( (0, 3) ), ( (-1, 0) ), ( (3, 0) )

5. Исследование на монотонность и экстремум

• На интервале ( (-\infty, 1) ) функция возрастает, так как производная положительна.
• На интервале ( (1, \infty) ) функция убывает, так как производная отрицательна.
• Вершина ( (1, 4) ) является точкой максимума.

6. Производная функции

Для проверки монотонности найдем производную: [ y' = \frac{d}{dx}(3 + 2x - x^2) = 2 - 2x ]

• ( y' = 0 ) при ( x = 1 ), что соответствует вершине параболы.

Заключение

График функции ( y = 3 + 2x - x^2 ) — это парабола, открытая вниз с вершиной в точке ( (1, 4) ), пересекающая ось ( x ) в точках ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) ), и ось ( y ) в точке ( (0, 3) ).