Исследовать функцию y=2x^4-9x^2+7 и построить её график.

Для исследования функции ( y = 2x^4 - 9x^2 + 7 ) и построения её графика, следуем стандартному алгоритму анализа функций:

1. Область определения функции: Функция ( y = 2x^4 - 9x^2 + 7 ) является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа, ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нахождение производной и критических точек: Для нахождения критических точек, находим первую производную функции и приравниваем её к нулю: [ y' = \frac{d}{dx}(2x^4 - 9x^2 + 7) = 8x^3 - 18x ] Решаем уравнение ( y' = 0 ): [ 8x^3 - 18x = 0 ] [ x(8x^2 - 18) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad 8x^2 - 18 = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{3}{2} ] Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = \pm \frac{3}{2} ).

3. Исследование на экстремумы: Для определения характера критических точек, найдём вторую производную: [ y'' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 18x) = 24x^2 - 18 ] Подставим критические точки во вторую производную: [ y''(0) = 24 \cdot 0^2 - 18 = -18 \quad (\text{отрицательная, следовательно, точка максимума}) ] [ y''\left(\frac{3}{2}\right) = 24 \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 18 = 24 \cdot \frac{9}{4} - 18 = 54 - 18 = 36 \quad (\text{положительная, следовательно, точка минимума}) ] [ y''\left(-\frac{3}{2}\right) = 24 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 18 = 24 \cdot \frac{9}{4} - 18 = 54 - 18 = 36 \quad (\text{положительная, следовательно, точка минимума}) ]

4. Нахождение значений функции в критических точках: [ y(0) = 2 \cdot 0^4 - 9 \cdot 0^2 + 7 = 7 ] [ y\left(\frac{3}{2}\right) = 2 \left(\frac{3}{2}\right)^4 - 9 \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 7 = 2 \cdot \frac{81}{16} - 9 \cdot \frac{9}{4} + 7 = \frac{162}{16} - \frac{81}{4} + 7 = \frac{162}{16} - \frac{324}{16} + 7 = -\frac{162}{16} + 7 = -\frac{81}{8} + 7 = -10.125 + 7 = -3.125 ] [ y\left(-\frac{3}{2}\right) = y\left(\frac{3}{2}\right) = -3.125 ]

5. Асимптоты: Для многочленов асимптот нет, так как они стремятся к бесконечности по мере увеличения (|x|).

6. Построение графика:

   • Точка максимума: ( (0, 7) )
   • Точки минимума: ( \left(\frac{3}{2}, -3.125\right) ) и ( \left(-\frac{3}{2}, -3.125\right) )

На основании полученной информации строим график:

• При ( x \to \pm \infty ), ( y \to +\infty ), так как старший член ( 2x^4 ) доминирует.
• Функция симметрична относительно оси ( y ) (так как все степени ( x ) чётные).

График функции имеет форму двойного минимума, с точками минимума в ( x = \pm \frac{3}{2} ) и максимумом в ( x = 0 ).

На графике отмечаем точки (0, 7), (\left(\frac{3}{2}, -3.125\right)), (\left(-\frac{3}{2}, -3.125\right)) и соответственно соединяем их плавной кривой, учитывая поведение на бесконечности.

Для исследования функции y=2x^4-9x^2+7 нужно найти экстремумы, точки перегиба, интервалы возрастания и убывания, а также построить её график.

Для начала исследуем данную функцию на экстремумы. Для этого найдем производные первого и второго порядка.

Первая производная: y' = 8x^3 - 18x

Приравниваем ее к нулю и находим точки экстремума: 8x^3 - 18x = 0 2x(4x^2 - 9) = 0 x = 0, x = -3/2, x = 3/2

Теперь найдем вторую производную: y'' = 24x^2 - 18

Подставляем найденные точки экстремума: y''(0) = -18 < 0 - это значит, что в точке x = 0 функция имеет локальный максимум y''(-3/2) = 27 > 0 - это значит, что в точке x = -3/2 функция имеет локальный минимум y''(3/2) = 27 > 0 - это значит, что в точке x = 3/2 функция имеет локальный минимум

Теперь построим график функции y = 2x^4 - 9x^2 + 7. Для этого найдем точки перегиба, используя вторую производную.

y'' = 24x^2 - 18 = 0 x^2 = 3/2 x = ±√(3/2)

Также найдем значения функции в точках экстремума и перегиба, чтобы построить график.

Таким образом, после анализа функции и нахождения точек экстремума и перегиба, мы сможем построить график функции y = 2x^4 - 9x^2 + 7, отражающий ее поведение на координатной плоскости.