Используя формулу производной от суммы, найдите производную функции: а) y=x^2-5x+1/x; б) y=x(x^2-5x+1);...

а) y=x^2-5x+1/x: y' = (x^2)' - (5x)' + (1/x)' = 2x - 5 - 1/x^2

б) y=x(x^2-5x+1): y' = (x)'(x^2-5x+1) + x(x^2-5x+1)' = (x^2-5x+1) + x(2x-5) = x^2 - 5x + 1 + 2x^2 - 5x = 3x^2 - 10x + 1

в) y = (x^3-5x^2+1) / x: y' = ((x^3-5x^2+1)' x - (x)' (x^3-5x^2+1)) / x^2 = (3x^2 - 10x) x - (1) (x^3 - 5x^2 + 1) / x^2 = 3x^3 - 10x^2 - x^3 + 5x^2 - 1 / x^2 = 2x^3 - 5x^2 - 1 / x^2

Рассмотрим каждую из функций по отдельности и найдем их производные.

а) ( y = x^2 - 5x + \frac{1}{x} )

Для нахождения производной функции ( y ) используем правило дифференцирования суммы, которое гласит, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

1. Производная от ( x^2 ): [ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x ]

2. Производная от ( -5x ): [ \frac{d}{dx}(-5x) = -5 ]

3. Производная от ( \frac{1}{x} ) (используем правило дифференцирования для функции ( x^{-1} )): [ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} ]

Теперь складываем производные: [ \frac{dy}{dx} = 2x - 5 - \frac{1}{x^2} ]

Таким образом, производная функции ( y = x^2 - 5x + \frac{1}{x} ) равна: [ \frac{dy}{dx} = 2x - 5 - \frac{1}{x^2} ]

б) ( y = x (x^2 - 5x + 1) )

Для нахождения производной этой функции используем правило произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций равна: [ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v' ]

Здесь ( u = x ) и ( v = x^2 - 5x + 1 ).

1. Производная ( u = x ): [ u' = \frac{d}{dx}(x) = 1 ]

2. Производная ( v = x^2 - 5x + 1 ): [ v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 1) = 2x - 5 ]

Теперь применим правило произведения: [ \frac{dy}{dx} = u' \cdot v + u \cdot v' = 1 \cdot (x^2 - 5x + 1) + x \cdot (2x - 5) ]

Рассчитаем: [ \frac{dy}{dx} = x^2 - 5x + 1 + 2x^2 - 5x ] [ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 10x + 1 ]

Таким образом, производная функции ( y = x(x^2 - 5x + 1) ) равна: [ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 10x + 1 ]

в) ( y = \frac{x^3 - 5x^2 + 1}{x} )

Для нахождения производной этой функции сначала упростим выражение, разложив функцию в виде суммы: [ y = \frac{x^3}{x} - \frac{5x^2}{x} + \frac{1}{x} ] [ y = x^2 - 5x + \frac{1}{x} ]

Теперь можно использовать результат, который мы уже нашли в пункте (а): [ \frac{dy}{dx} = 2x - 5 - \frac{1}{x^2} ]

Таким образом, производная функции ( y = \frac{x^3 - 5x^2 + 1}{x} ) равна: [ \frac{dy}{dx} = 2x - 5 - \frac{1}{x^2} ]

Итак, мы нашли производные для всех трех функций.