Интеграл от 2 до 1 (x+2/x)dx интеграл от 2/3 до -2/3 (3х^3-2x)dx

Для начала решим первый интеграл:

[ \int_1^2 \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx. ]

Разделим интеграл на два отдельных слагаемых:

[ \int_1^2 x \, dx + \int_1^2 \frac{2}{x} \, dx. ]

Решим каждый из них по отдельности.

1. ( \int_1^2 x \, dx ): [ \frac{x^2}{2} \Big|_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. ]

2. ( \int_1^2 \frac{2}{x} \, dx ): [ 2 \ln|x| \Big|_1^2 = 2(\ln|2| - \ln|1|) = 2 \ln 2. ]

Суммируем результаты: [ \frac{3}{2} + 2 \ln 2. ]

Теперь решим второй интеграл:

[ \int_{-2/3}^{2/3} (3x^3 - 2x) \, dx. ]

Заметим, что функция (3x^3 - 2x) является нечётной функцией, так как все члены уравнения нечётной степени, а интегрирование проводится симметрично относительно нуля. Интеграл нечётной функции по симметричному относительно нуля интервалу равен 0:

[ \int_{-2/3}^{2/3} (3x^3 - 2x) \, dx = 0. ]

Таким образом, ответы на заданные интегралы следующие:

1. ( \frac{3}{2} + 2 \ln 2 ) для первого интеграла,
2. ( 0 ) для второго интеграла.

Для первого интеграла от ( \int_{1}^{2} \left( x + \frac{2}{x} \right) dx ) сначала найдем неопределенный интеграл этой функции:

[ \int \left( x + \frac{2}{x} \right) dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln|x| + C ]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{x^2}{2} + 2 \ln|x| \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \ln|2| \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 2 \ln|1| \right) = \left( 2 + 2 \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2} \right) = 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} ]

Ответ: ( 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} )

Для второго интеграла от ( \int_{-2/3}^{2/3} (3x^3 - 2x) dx ) поступаем аналогично:

[ \int (3x^3 - 2x) dx = \frac{3x^4}{4} - x^2 + C ]

Подставляем пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{3x^4}{4} - x^2 \right]_{-2/3}^{2/3} = \left( \frac{3(2/3)^4}{4} - (2/3)^2 \right) - \left( \frac{3(-2/3)^4}{4} - (-2/3)^2 \right) ]

[ = \left( \frac{16}{27} - \frac{4}{9} \right) - \left( \frac{16}{27} - \frac{4}{9} \right) = 0 ]

Ответ: 0