Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. найти катеты треугольника

Обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ). По условию задачи, гипотенуза ( c = 25 ) см, а периметр ( P = a + b + c = 60 ) см.

Таким образом, можно записать уравнение:

[ a + b + 25 = 60 ] [ a + b = 35 ] (1)

Также по теореме Пифагора имеем:

[ a^2 + b^2 = c^2 ] [ a^2 + b^2 = 25^2 = 625 ] (2)

Теперь из уравнения (1) выразим ( b ):

[ b = 35 - a ]

Подставим это выражение в уравнение (2):

[ a^2 + (35 - a)^2 = 625 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + (1225 - 70a + a^2) = 625 ] [ 2a^2 - 70a + 1225 - 625 = 0 ] [ 2a^2 - 70a + 600 = 0 ] [ a^2 - 35a + 300 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25 ]

Найдём корни:

[ a = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2} ]

Корни:

1. ( a_1 = \frac{40}{2} = 20 )
2. ( a_2 = \frac{30}{2} = 15 )

Таким образом, катеты равны:

[ a = 20 \, \text{см}, \, b = 15 \, \text{см} ]

Ответ: катеты треугольника равны 20 см и 15 см.

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и периметр, воспользуемся следующими обозначениями:

• Пусть катеты треугольника равны ( a ) и ( b ).
• Гипотенуза равна ( c = 25 ) см.
• Периметр треугольника равен ( P = 60 ) см.

Согласно определению периметра прямоугольного треугольника, мы можем записать уравнение:

[ a + b + c = P ]

Подставим известные значения:

[ a + b + 25 = 60 ]

В результате получаем:

[ a + b = 60 - 25 = 35 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( a + b = 35 )
2. ( a^2 + b^2 = c^2 ) (по теореме Пифагора)

Подставим значение гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = 25^2 = 625 ]

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. ( a + b = 35 )
2. ( a^2 + b^2 = 625 )

Сначала выразим ( b ) через ( a ) из первого уравнения:

[ b = 35 - a ]

Подставим это значение во второе уравнение:

[ a^2 + (35 - a)^2 = 625 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + (35^2 - 70a + a^2) = 625 ]

[ a^2 + 1225 - 70a + a^2 = 625 ]

Соберем все члены в одном уравнении:

[ 2a^2 - 70a + 1225 - 625 = 0 ]

Упростим:

[ 2a^2 - 70a + 600 = 0 ]

Теперь разделим уравнение на 2:

[ a^2 - 35a + 300 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 ] [ D = 1225 - 1200 = 25 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их:

[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ = \frac{35 \pm 5}{2} ]

Таким образом, найдём два значения для ( a ):

1. ( a_1 = \frac{40}{2} = 20 )
2. ( a_2 = \frac{30}{2} = 15 )

Теперь найдем соответствующие значения для ( b ):

1. Если ( a = 20 ), то ( b = 35 - 20 = 15 ).
2. Если ( a = 15 ), то ( b = 35 - 15 = 20 ).

Таким образом, катеты нашего прямоугольного треугольника равны:

[ a = 20 \text{ см}, \quad b = 15 \text{ см} ]

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 20 см и 15 см.

Давайте решим задачу поэтапно.

Условие задачи:

• Гипотенуза прямоугольного треугольника (c = 25) см,
• Периметр треугольника (P = 60) см,
• Необходимо найти длины катетов (a) и (b).

Шаг 1. Формула периметра треугольника

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон: [ P = a + b + c ] Подставляем известные значения: [ 60 = a + b + 25 ] Упростим уравнение: [ a + b = 35 ] (1) Это первое уравнение.

Шаг 2. Теорема Пифагора

Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ] Подставляем значение гипотенузы ((c = 25)): [ a^2 + b^2 = 25^2 ] [ a^2 + b^2 = 625 ] (2) Это второе уравнение.

Шаг 3. Система уравнений

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. (a + b = 35),
2. (a^2 + b^2 = 625).

Шаг 4. Выразим (b) через (a)

Из первого уравнения: [ b = 35 - a ]

Шаг 5. Подставим (b = 35 - a) во второе уравнение

Подставляем (b = 35 - a) в уравнение (a^2 + b^2 = 625): [ a^2 + (35 - a)^2 = 625 ] Раскроем скобки: [ a^2 + (35^2 - 2 \cdot 35 \cdot a + a^2) = 625 ] [ a^2 + (1225 - 70a + a^2) = 625 ] Сложим подобные: [ a^2 + 1225 - 70a + a^2 = 625 ] [ 2a^2 - 70a + 1225 = 625 ] Упростим: [ 2a^2 - 70a + 600 = 0 ] Разделим уравнение на 2: [ a^2 - 35a + 300 = 0 ]

Шаг 6. Решим квадратное уравнение

Квадратное уравнение: [ a^2 - 35a + 300 = 0 ] Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] где (a = 1), (b = -35), (c = 300). Подставим: [ D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 ] [ D = 1225 - 1200 = 25 ] Так как (D > 0), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле: [ a{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ a{1,2} = \frac{-(-35) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} ] [ a_{1,2} = \frac{35 \pm 5}{2} ] [ a_1 = \frac{35 + 5}{2} = 20, \quad a_2 = \frac{35 - 5}{2} = 15 ]

Шаг 7. Найдем (b)

Если (a = 20), то: [ b = 35 - a = 35 - 20 = 15 ] Если (a = 15), то: [ b = 35 - a = 35 - 15 = 20 ]

Итог:

Катеты треугольника — (a = 15) см и (b = 20) см (или наоборот).

Проверка:

1. Периметр: [ a + b + c = 15 + 20 + 25 = 60 \, \text{см.} ] Выполняется.
2. Теорема Пифагора: [ a^2 + b^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = c^2 ] Выполняется.

Ответ: катеты треугольника равны (15) см и (20) см.