Геометрическая прогрессия b1=2/3 q=3 Найти четвёртый член прогрессии и сумму первых пяти её членов

Для нахождения четвёртого члена геометрической прогрессии с первым членом b1=2/3 и знаменателем q=3 используем формулу для нахождения членов прогрессии: bn = b1 * q^(n-1), где n - номер члена прогрессии.

Для четвёртого члена (n=4): b4 = b1 q^(4-1) = (2/3) 3^3 = (2/3) * 27 = 18

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для суммы n членов геометрической прогрессии: Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q), где n - количество членов прогрессии.

Для первых пяти членов (n=5): S5 = (2/3) (1 - 3^5) / (1 - 3) = (2/3) (1 - 243) / (-2) = (2/3) * (-242) / (-2) = 161

Таким образом, четвёртый член геометрической прогрессии равен 18, а сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 161.

Геометрическая прогрессия характеризуется наличием первого члена ( b_1 ) и знаменателя ( q ). В данном случае, первый член ( b_1 = \frac{2}{3} ) и знаменатель ( q = 3 ).

Поиск четвёртого члена прогрессии

Члены геометрической прогрессии можно найти по формуле: [ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

Нам нужно найти четвёртый член прогрессии ( b_4 ). Подставим известные значения в формулу: [ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 ]

Вычислим степень и произведение: [ 3^3 = 27 ] [ b_4 = \frac{2}{3} \cdot 27 = \frac{2 \cdot 27}{3} = \frac{54}{3} = 18 ]

Таким образом, четвёртый член прогрессии ( b_4 = 18 ).

Поиск суммы первых пяти членов прогрессии

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии (если ( q \neq 1 )) вычисляется по формуле: [ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

В нашем случае, ( n = 5 ), ( b_1 = \frac{2}{3} ) и ( q = 3 ). Подставим значения в формулу: [ S_5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} ]

Вычислим степени и разности: [ 3^5 = 243 ] [ 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242 ] [ 3 - 1 = 2 ]

Теперь подставим обратно в формулу: [ S_5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{242}{2} ]

Сократим дробь: [ \frac{242}{2} = 121 ] [ S_5 = \frac{2}{3} \cdot 121 = \frac{2 \cdot 121}{3} = \frac{242}{3} ]

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии ( S_5 = \frac{242}{3} ) или в десятичной форме ( \approx 80.67 ).

Итак, четвёртый член прогрессии равен ( 18 ), а сумма первых пяти членов прогрессии равна ( \frac{242}{3} ) или ( \approx 80.67 ).