F(x)=x^5-2x найти все первообразные функции

Для того чтобы найти все первообразные функции для функции F(x)=x^5-2x, нужно найти её неопределенный интеграл. Интегрируем каждый член функции по отдельности:

∫(x^5-2x) dx = ∫x^5 dx - ∫2x dx

Интегрируя каждый член, получаем:

(1/6)x^6 - x^2 + C

Где C - произвольная постоянная. Таким образом, все первообразные функции функции F(x)=x^5-2x имеют вид:

(1/6)x^6 - x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Прежде чем приступить к нахождению первообразной функции ( F(x) = x^5 - 2x ), давайте напомним, что первообразная функции ( f(x) ), также называемая интегралом, обозначается ( \int f(x) \, dx ) и представляет собой функцию ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ). Другими словами, если ( F'(x) = f(x) ), то ( F(x) ) является первообразной функции ( f(x) ).

Для нахождения первообразной функции ( F(x) = x^5 - 2x ), нам нужно проинтегрировать ( F(x) ) по переменной ( x ).

Запишем это в виде интеграла: [ \int (x^5 - 2x) \, dx ]

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций: [ \int (x^5 - 2x) \, dx = \int x^5 \, dx - \int 2x \, dx ]

Теперь найдем каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Интеграл от ( x^5 ): [ \int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 = \frac{x^6}{6} + C_1 ]

2. Интеграл от ( 2x ): [ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + C_2 = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C_2 = x^2 + C_2 ]

Теперь объединим найденные интегралы: [ \int (x^5 - 2x) \, dx = \frac{x^6}{6} + x^2 + C ]

Здесь ( C ) обозначает произвольную константу, которая равна сумме констант ( C_1 ) и ( C_2 ), но так как их сумма также является произвольной константой, мы оставляем её просто как ( C ).

Таким образом, все первообразные функции ( F(x) = x^5 - 2x ) можно записать в общем виде: [ F(x) = \frac{x^6}{6} + x^2 + C ]

где ( C ) — произвольная константа.