F(x)=2x^3-3x^2-12x
Найти точки экстремума
Заранее благодарю
F(x)=2x^3-3x^2-12x
Найти точки экстремума
Заранее благодарю
Для нахождения точек экстремума функции F(x) необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. После этого найденные значения подставить обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения функции.
Найдем производную функции F(x): F'(x) = 6x^2 - 6x - 12
Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x: 6x^2 - 6x - 12 = 0 Делим обе части уравнения на 6: x^2 - x - 2 = 0 Факторизуем уравнение: (x - 2)(x + 1) = 0 x1 = 2 x2 = -1
Теперь найдем соответствующие значения функции F(x) в точках x1 и x2: F(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20 F(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7
Итак, точками экстремума функции F(x) являются точки (-1, 7) и (2, -20).
Для нахождения точек экстремума функции ( F(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x ) необходимо найти её производную и изучить критические точки. Критическими точками являются те значения ( x ), при которых производная равна нулю или не существует.
Найдём первую производную функции:
[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x) = 6x^2 - 6x - 12 ]
Найдём критические точки:
Для этого решим уравнение ( F'(x) = 0 ):
[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 ]
Упростив, получим:
[ x^2 - x - 2 = 0 ]
Это квадратное уравнение можно решить через разложение на множители:
[ (x - 2)(x + 1) = 0 ]
Таким образом, критические точки: ( x = 2 ) и ( x = -1 ).
Определим характер критических точек (минимум, максимум или точка перегиба):
Для этого воспользуемся второй производной:
Найдём вторую производную:
[ F''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6 ]
Подставим критические точки во вторую производную:
Для ( x = 2 ):
[ F''(2) = 12 \cdot 2 - 6 = 24 - 6 = 18 ]
Поскольку ( F''(2) > 0 ), то в точке ( x = 2 ) функция имеет локальный минимум.
Для ( x = -1 ):
[ F''(-1) = 12 \cdot (-1) - 6 = -12 - 6 = -18 ]
Поскольку ( F''(-1) < 0 ), то в точке ( x = -1 ) функция имеет локальный максимум.
Таким образом, функция ( F(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x ) имеет локальный максимум в точке ( x = -1 ) и локальный минимум в точке ( x = 2 ).
Чтобы найти точки экстремума функции F(x), нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.
