Функция задана формулой у=3х^2+2х-5 а) найдите значение функции при х=-2/3 б) найдите нули функции

Рассмотрим функцию ( y = 3x^2 + 2x - 5 ).

а) Найдем значение функции при ( x = -\frac{2}{3} ).

Подставим ( x = -\frac{2}{3} ) в формулу функции:

[ y = 3\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 5 ]

Выполним вычисления шаг за шагом:

1. Найдем квадрат ( -\frac{2}{3} ): [ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} ]

2. Умножим результат на 3: [ 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} ]

3. Умножим ( 2 ) на ( -\frac{2}{3} ): [ 2 \cdot -\frac{2}{3} = -\frac{4}{3} ]

4. Сложим все полученные значения и вычтем 5: [ y = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - 5 ]

5. Сократим выражение: [ y = 0 - 5 = -5 ]

Таким образом, значение функции при ( x = -\frac{2}{3} ) равно ( -5 ).

б) Найдем нули функции, то есть такие значения ( x ), при которых ( y = 0 ):

[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 ]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В данном уравнении: [ a = 3, \, b = 2, \, c = -5 ]

Найдем дискриминант ( ( D ) ): [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) ] [ D = 4 + 60 ] [ D = 64 ]

Теперь подставим значения ( a ), ( b ) и ( D ) в формулу для нахождения корней:

[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 ]

[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} ]

Таким образом, нули функции ( 3x^2 + 2x - 5 ) - это ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -\frac{5}{3} ).

а) Для нахождения значения функции при x=-2/3 подставим данное значение в формулу у=3х^2+2х-5: у=3(-2/3)^2+2(-2/3)-5 у=3*(4/9)-4/3-5 у=4/3-4/3-5 у=-5

Ответ: значение функции при x=-2/3 равно -5.

б) Нули функции это значения x, при которых y=0. Для нахождения нулей функции решим уравнение 3х^2+2х-5=0 методом квадратного уравнения или факторизацией: 3х^2+2х-5=0 Дискриминант D=2^2-43(-5)=4+60=64 x=(-2±√64)/2*3=(-2±8)/6 x1=(-2+8)/6=6/6=1 x2=(-2-8)/6=-10/6=-5/3

Ответ: нули функции равны x=1 и x=-5/3.

а) Подставляем x=-2/3 в формулу у=3х^2+2х-5: у=3(-2/3)^2+2(-2/3)-5 у=3(4/9)-4/3-5 у=4-4/3-5 у=12/3-4/3-15/3 у=3/3-4/3-15/3 у=-16/3

б) Нули функции находятся при у=0: 0=3х^2+2х-5 Решаем квадратное уравнение: D=2^2-43(-5)=4+60=64 х=(-2±√64)/6 х=(-2±8)/6 х=(-2+8)/6 или х=(-2-8)/6 х=6/6 или х=-10/6 х=1 или х=-5/3

Нули функции: х=1 и х=-5/3