\[ \Frac{16}{x^2+x} - \frac{6}{x^2-x} = \frac{1}{x} \] Помогите, пожалуйста, решить. Заранее спасибо

Конечно, давайте решим уравнение:

[ \frac{16}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - x} = \frac{1}{x} ]

Первым шагом будем приводить дроби к общему знаменателю. Знаменатели (x^2 + x) и (x^2 - x) можно разложить на множители:

1. (x^2 + x = x(x + 1))
2. (x^2 - x = x(x - 1))

Общий знаменатель для этих дробей будет (x(x + 1)(x - 1)).

Теперь преобразуем каждую дробь так, чтобы у них был общий знаменатель:

[ \frac{16}{x(x + 1)} = \frac{16(x - 1)}{x(x + 1)(x - 1)} ]

[ \frac{6}{x(x - 1)} = \frac{6(x + 1)}{x(x + 1)(x - 1)} ]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

[ \frac{16(x - 1)}{x(x + 1)(x - 1)} - \frac{6(x + 1)}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x} ]

Выразим левую часть уравнения через общий знаменатель:

[ \frac{16(x - 1) - 6(x + 1)}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x} ]

Упростим числитель:

[ 16(x - 1) - 6(x + 1) = 16x - 16 - 6x - 6 = 10x - 22 ]

Теперь уравнение:

[ \frac{10x - 22}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x} ]

Умножим обе стороны на (x(x + 1)(x - 1)), чтобы избавиться от дробей:

[ 10x - 22 = (x + 1)(x - 1) ]

Раскроем скобки справа:

[ 10x - 22 = x^2 - 1 ]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

[ x^2 - 10x + 21 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 4}{2} ]

[ x_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7 ]

[ x_2 = \frac{10 - 4}{2} = 3 ]

Проверим, чтобы найденные значения не делали знаменатель нулем. Подставим (x = 7) и (x = 3) в знаменатели:

• Для (x(x + 1)(x - 1)): подставляем (x = 7) и (x = 3), оба значения не обращают знаменатель в ноль.

Таким образом, решения уравнения: (x = 7) и (x = 3).

Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет ( x^2+x \cdot (x-1) = x(x+1)(x-1) ). Тогда уравнение примет вид:

[ \frac{16(x-1)}{x(x+1)(x-1)} - \frac{6(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x} ]

Далее объединим дроби в одну:

[ \frac{16(x-1) - 6(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x} ]

[ \frac{16x - 16 - 6x - 6}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x} ]

[ \frac{10x - 22}{x(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x} ]

Теперь можно избавиться от дроби, умножив обе части уравнения на ( x(x+1)(x-1) ):

[ 10x - 22 = (x+1)(x-1) ]

[ 10x - 22 = x^2 - 1 ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ x^2 - 10x + 21 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2} ]

[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2} ]

[ x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} ]

[ x = \frac{10 \pm 4}{2} ]

[ x_1 = 7, x_2 = 3 ]

Таким образом, уравнение имеет два корня: ( x = 7 ) и ( x = 3 ).