Дробно рациональное уравнение x-4/x = 2x+10/x+4 /- дробная черта

Для решения данного дробно-рационального уравнения сначала умножим обе части уравнения на общий знаменатель x(x + 4), чтобы избавиться от дробей:

x(x + 4) (x - 4)/x = x(x + 4) (2x + 10)/(x + 4)

После упрощения получим:

(x + 4)(x - 4) = x(2x + 10)

x^2 - 16 = 2x^2 + 10x

Теперь приведем все члены уравнения в одну часть:

2x^2 + 10x - x^2 + 16 = 0

x^2 + 10x + 16 = 0

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

(x + 8)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем два корня уравнения: x = -8 и x = -2.

Ответ: x = -8, -2.

Рассмотрим дробно рациональное уравнение:

[ \frac{x-4}{x} = \frac{2x+10}{x+4} ]

Для решения такого рода уравнений следует выполнить несколько шагов, чтобы упростить его и найти значения ( x ).

Шаг 1: Найти общий знаменатель

Первый шаг заключается в том, чтобы выразить все дроби через общий знаменатель. Здесь знаменатели ( x ) и ( x+4 ) могут быть умножены друг на друга, чтобы найти общий знаменатель.

Общий знаменатель ( x(x+4) ).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю и упрощение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель ( x(x+4) ):

[ (x - 4)(x + 4) = (2x + 10)x ]

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки и упростим полученные выражения:

Левая часть: [ (x-4)(x+4) = x^2 - 16 ]

Правая часть: [ (2x + 10)x = 2x^2 + 10x ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ x^2 - 16 = 2x^2 + 10x ]

Шаг 4: Приведение к стандартному виду квадратного уравнения

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

[ x^2 - 16 - 2x^2 - 10x = 0 ]

Упрощаем:

[ -x^2 - 10x - 16 = 0 ]

Или, умножив на -1 для удобства:

[ x^2 + 10x + 16 = 0 ]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 10x + 16 = 0 ) с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 10 ), ( c = 16 ):

[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 ]

Шаг 6: Поиск корней уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения ( a ), ( b ) и ( D ):

[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{-10 \pm 6}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

[ x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ]

Шаг 7: Проверка корней

Теперь необходимо проверить найденные корни на допустимость, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

Для ( x = -2 ):

[ \frac{-2 - 4}{-2} = \frac{2 \cdot (-2) + 10}{-2 + 4} ]

[ \frac{-6}{-2} = \frac{-4 + 10}{2} ]

[ 3 = 3 ]

Для ( x = -8 ):

[ \frac{-8 - 4}{-8} = \frac{2 \cdot (-8) + 10}{-8 + 4} ]

[ \frac{-12}{-8} = \frac{-16 + 10}{-4} ]

[ \frac{3}{2} = \frac{3}{2} ]

Оба корня ( x = -2 ) и ( x = -8 ) являются допустимыми решениями уравнения.

Итак, решениями уравнения являются:

[ x = -2 \quad \text{и} \quad x = -8 ]