Дробно рациональное уравнение x-4/x = 2x+10/x+4 /- дробная черта

Для решения данного дробно-рационального уравнения сначала умножим обе части уравнения на общий знаменатель x$x+4$, чтобы избавиться от дробей:

x$x+4$ $x-4$/x = x$x+4$ $2x+10$/$x+4$

После упрощения получим:

$x+4$$x-4$ = x$2x+10$

x^2 - 16 = 2x^2 + 10x

Теперь приведем все члены уравнения в одну часть:

2x^2 + 10x - x^2 + 16 = 0

x^2 + 10x + 16 = 0

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

$x+8$$x+2$ = 0

Таким образом, получаем два корня уравнения: x = -8 и x = -2.

Ответ: x = -8, -2.

Рассмотрим дробно рациональное уравнение:

$\frac{x-4}{x}=\frac{2x+10}{x+4}$

Для решения такого рода уравнений следует выполнить несколько шагов, чтобы упростить его и найти значения $x$.

Шаг 1: Найти общий знаменатель

Первый шаг заключается в том, чтобы выразить все дроби через общий знаменатель. Здесь знаменатели $x$ и $x+4$ могут быть умножены друг на друга, чтобы найти общий знаменатель.

Общий знаменатель $x(x+4$ ).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю и упрощение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+4$ ):

$(x-4)(x+4)=(2x+10)x$

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки и упростим полученные выражения:

Левая часть: $(x-4)(x+4)=x^2-16$

Правая часть: $(2x+10)x=2x^2+10x$

Теперь у нас есть уравнение:

$x^2-16=2x^2+10x$

Шаг 4: Приведение к стандартному виду квадратного уравнения

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$x^2-16-2x^2-10x=0$

Упрощаем:

$-x^2-10x-16=0$

Или, умножив на -1 для удобства:

$x^2+10x+16=0$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение $x^2+10x+16=0$ с помощью дискриминанта $D$:

$D=b^2-4ac$

В нашем уравнении $a=1$, $b=10$, $c=16$:

$D={10}^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36$

Шаг 6: Поиск корней уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения $a$, $b$ и $D$:

$x=\frac{-10\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$

$x=\frac{-10\pm 6}{2}$

Таким образом, получаем два корня:

$x_1=\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_2=\frac{-10-6}{2}=\frac{-16}{2}=-8$

Шаг 7: Проверка корней

Теперь необходимо проверить найденные корни на допустимость, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

Для $x=-2$:

$\frac{-2-4}{-2}=\frac{2\cdot (-2)+10}{-2+4}$

$\frac{-6}{-2}=\frac{-4+10}{2}$

$3=3$

Для $x=-8$:

$\frac{-8-4}{-8}=\frac{2\cdot (-8)+10}{-8+4}$

$\frac{-12}{-8}=\frac{-16+10}{-4}$

$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Оба корня $x=-2$ и $x=-8$ являются допустимыми решениями уравнения.

Итак, решениями уравнения являются:

$x=-2\text{и}x=-8$