Докажите,что при всех допустимых значениях a выражение тождественно равно нулю: (2a+1)/(a^3-1) + (a)/(a^2+a+1)...

Чтобы доказать, что данное выражение тождественно равно нулю для всех допустимых значений ( a ), рассмотрим его более подробно:

[ \frac{2a+1}{a^3-1} + \frac{a}{a^2+a+1} + \frac{1}{1-a} ]

Шаг 1: Упростим выражения в знаменателях

1. Разложение ( a^3 - 1 ): [ a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1) ] Это стандартное разложение разности кубов.

2. Знаменатель ((a^2+a+1)) уже разложен и не нуждается в разложении.

3. Знаменатель ((1-a)): [ 1-a = -(a-1) ]

Шаг 2: Общий знаменатель

Для сложения дробей найдём общий знаменатель, который будет равен произведению всех уникальных множителей: ((a-1)(a^2+a+1)).

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

1. Первая дробь: [ \frac{2a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} ]

2. Вторая дробь: [ \frac{a(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{a}{a^2+a+1} ]

3. Третья дробь: [ \frac{-1}{(a-1)} ]

Приведём все дроби к общему знаменателю ((a-1)(a^2+a+1)):

• Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.
• Для второй дроби домножим числитель и знаменатель на (a-1), получим: [ \frac{a(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} ]
• Третью дробь домножим на ((a^2+a+1)): [ \frac{-1 \cdot (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} ]

Шаг 4: Сложение дробей

Теперь сложим все дроби:

[ \frac{2a+1 + a(a-1) - (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} ]

Упростим числитель:

[ 2a+1 + a^2-a - a^2 - a - 1 = 0 ]

Шаг 5: Итог

Получили, что числитель равен нулю, следовательно, всё выражение равно нулю при любом ( a ), для которого определены все дроби. То есть, при ( a \neq 1 ).

Таким образом, доказано, что данное выражение тождественно равно нулю для всех допустимых значений ( a ) (за исключением ( a = 1 ), где выражение не определено).

Для доказательства тождественного равенства нулю данного выражения, мы можем привести все слагаемые к общему знаменателю и сократить числители.

Сначала найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общим знаменателем будет (a^3 - 1)(a^2 + a + 1)(1 - a).

Преобразуем каждую дробь: 1) (2a + 1) (a^2 + a + 1) (1 - a) = (2a + 1)(a^3 - a^2 + a^2 - a + a + 1 - a^2 - a - 1) = (2a + 1)(a^3 - 1) 2) a (a^3 - 1)(1 - a) = a(a^3 - a - a^2 + 1) = a(a^3 - a^2 - a + 1) 3) 1 (a^3 - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - a^2 - a + 1

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю: (2a + 1)(a^3 - 1) + a(a^3 - a^2 - a + 1) + (a^3 - a^2 - a + 1) = (2a^4 - 2a + a^3 - a) + (a^4 - a^3 - a^2 + a) + (a^3 - a^2 - a + 1) = 3a^4 - 3a^3 - 3a^2 + 3a = 3a(a^3 - a^2 - a + 1)

Таким образом, при всех допустимых значениях a выражение равно нулю, что и требовалось доказать.