Докажите,что если к трёхзначному числу приписать справа то же число,то полученное шестизначное число...

Давайте обозначим трёхзначное число как ( n ). Это число можно представить в виде:

[ n = 100a + 10b + c, ]

где ( a, b, c ) — это цифры числа ( n ), и ( a ) не может быть равной нулю, так как ( n ) — трёхзначное число (то есть ( 1 \leq a \leq 9 ) и ( 0 \leq b, c \leq 9 )).

Теперь, если мы приписываем к этому числу справа такое же число ( n ), то получаем шестизначное число:

[ N = 1000n + n = 1001n. ]

Мы можем заметить, что ( N ) является произведением ( n ) на 1001.

Теперь важно доказать, что число ( N ) кратно 7, 11 и 13. Для этого мы сначала разложим 1001 на множители:

[ 1001 = 7 \times 11 \times 13. ]

Это значит, что любое число, которое является произведением 1001, будет кратно 7, 11 и 13. Поскольку ( N = 1001n ), то независимо от значения ( n ) (при условии, что ( n ) является трёхзначным числом), ( N ) всегда будет кратно 7, 11 и 13.

Таким образом, мы можем сделать следующий вывод: если к трёхзначному числу ( n ) приписать справа то же самое число, то полученное шестизначное число ( N ) будет кратно 7, 11 и 13.

Докажем утверждение, что если к трёхзначному числу приписать справа то же число, то полученное шестизначное число будет кратно 7, 11 и 13.

Обозначения и разложение числа

Пусть трёхзначное число обозначим как ( n ). Например, ( n ) может быть любым числом от 100 до 999. Если приписать это число справа к самому себе, получится шестизначное число, которое можно записать как:

[ N = 1000n + n = n(1000 + 1) = n \cdot 1001 ]

Таким образом, шестизначное число ( N ) является произведением ( n ) и 1001.

Разложение 1001 на множители

Разложим число 1001 на простые множители:

[ 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 ]

Это разложение показывает, что число 1001 делится на 7, 11 и 13.

Свойства делимости

Поскольку ( N = n \cdot 1001 ), то ( N ) автоматически делится на 7, 11 и 13 (так как 1001 делится на эти числа). А так как ( n ) — это трёхзначное число (и, следовательно, целое), произведение ( n \cdot 1001 ) также будет делиться на 7, 11 и 13.

Вывод

Таким образом, шестизначное число, полученное приписыванием трёхзначного числа к самому себе, всегда будет кратно 7, 11 и 13.

Пример

Рассмотрим конкретный пример для наглядности. Пусть ( n = 123 ). Тогда:

[ N = 123 \cdot 1001 = 123123 ]

Проверим делимость ( 123123 ) на 7, 11 и 13:

• ( 123123 \div 7 = 17589 ) (целое число),
• ( 123123 \div 11 = 11193 ) (целое число),
• ( 123123 \div 13 = 9471 ) (целое число).

Следовательно, число ( 123123 ) делится на 7, 11 и 13.

Таким образом, утверждение доказано.