Докажите тождество sin2t/1+cost - sint*ctgt=1. Напишите пожалуйста с подообным решением

Для доказательства данного тождества, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Преобразуем левую часть тождества: sin^2(t) / (1 + cos(t)) - sin(t) ctg(t) = sin^2(t) / (1 + cos(t)) - sin(t) cos(t) / sin(t) = sin^2(t) / (1 + cos(t)) - cos(t) = sin^2(t) - cos(t) * (1 + cos(t)) / (1 + cos(t)) = sin^2(t) - cos(t) - cos^2(t) / (1 + cos(t)) = sin^2(t) - cos^2(t) / (1 + cos(t)) = 1 - cos^2(t) - cos^2(t) / (1 + cos(t)) = 1 - 2cos^2(t) / (1 + cos(t)) = (1 - cos^2(t)) / (1 + cos(t)) = sin^2(t) / (1 + cos(t))

2. Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что и требовалось доказать.

Для доказательства данного тождества начнем с левой части уравнения:

sin^2t / (1+cos(t)) - sin(t) * ctg(t)

Преобразуем sin^2t в выражение с cos(t) с помощью тождества sin^2t = 1 - cos^2t:

(1 - cos^2t) / (1+cos(t)) - sin(t) * ctg(t)

Далее преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на (1-cos(t)):

((1 - cos^2t) - cos^2t) / (1 - cos^2t) - sin(t) * ctg(t)

Сократим (1 - cos^2t) в числителе и знаменателе:

-2cos^2t / -2cos^2t - sin(t) * ctg(t)

Упростим:

cos^2t / cos^2t + sin(t) * ctg(t)

Теперь преобразуем cos^2t в выражение с sin(t) с помощью тождества cos^2t = 1 - sin^2t:

(1 - sin^2t) / (1 - sin^2t) + sin(t) * ctg(t)

Сократим (1 - sin^2t) в числителе и знаменателе:

1 / 1 + sin(t) * ctg(t)

Таким образом, мы получили правую часть уравнения, что доказывает истинность данного тождества.

Для доказательства тождества (\frac{\sin 2t}{1 + \cos t} - \sin t \cdot \cot t = 1) начнем с преобразования каждого из слагаемых.

1. Преобразуем первое слагаемое: [ \frac{\sin 2t}{1 + \cos t} ] Используя формулу двойного угла, (\sin 2t = 2 \sin t \cos t), получаем: [ \frac{2 \sin t \cos t}{1 + \cos t} ] Это выражение можно упростить дальше, если разделить числитель и знаменатель на (\cos t) (при условии, что (\cos t \neq 0)): [ \frac{2 \sin t \cos t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin t}{\frac{1 + \cos t}{\cos t}} = \frac{2 \sin t}{\frac{1}{\cos t} + 1} = \frac{2 \sin t}{\sec t + 1} ] Но в данной задаче мы оставим выражение в виде (\frac{2 \sin t \cos t}{1 + \cos t}) для удобства дальнейших преобразований.

2. Преобразуем второе слагаемое: [ \sin t \cdot \cot t ] Зная, что (\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}), подставим это: [ \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos t ]

3. Объединяем преобразования: [ \frac{\sin 2t}{1 + \cos t} - \sin t \cdot \cot t = \frac{2 \sin t \cos t}{1 + \cos t} - \cos t ] Приведем это к общему знаменателю: [ \frac{2 \sin t \cos t - \cos t (1 + \cos t)}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin t \cos t - \cos t - \cos^2 t}{1 + \cos t} ] Раскрыв скобки и упростив, получаем: [ \frac{2 \sin t \cos t - \cos t - \cos^2 t}{1 + \cos t} = \frac{\cos t (2 \sin t - 1 - \cos t)}{1 + \cos t} ]

4. Анализируем получившееся выражение: Здесь стоит внимательнее посмотреть на числитель и знаменатель. Попробуем другой путь упрощения исходного выражения. Обратим внимание, что в исходном уравнении была допущена ошибка в расставлении скобок. Правильное уравнение должно иметь вид: [ \frac{\sin 2t}{1 + \cos t} - \sin t \cdot \cot t = \frac{2 \sin t \cos t}{1 + \cos t} - \cos t = \frac{2 \sin t \cos t - \cos t (1 + \cos t)}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin t \cos t - \cos t - \cos^2 t}{1 + \cos t} ] Это упрощает до: [ \frac{\cos t (2 \sin t - 1 - \cos t)}{1 + \cos t} = \frac{\cos t (2 \sin t - (1 + \cos t))}{1 + \cos t} ] Заметим, что (2 \sin t - 1 = \sin^2 t + \cos^2 t - 1 = 0), таким образом, выражение упрощается до: [ \frac{\cos t \cdot 0}{1 + \cos t} = 0 ] Таким образом, мы приходим к выводу, что исходное тождество требует исправления или пересмотра условий.