Докажите тождество ПРОЩУ ПОМОГИТЕЕ 1+ctg^2a+1/cos^2a=1/sin^2a*cos^2a

Для доказательства тождества ( 1 + \cot^2 a + \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a \cos^2 a} ) начнем с левой части и будем преобразовывать её.

1. Запишем (\cot^2 a): [ \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} ] Подставим это в выражение: [ 1 + \cot^2 a = 1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin^2 a} ] Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1): [ 1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} ]

2. Теперь подставим это обратно в левую часть: [ 1 + \cot^2 a + \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a} + \frac{1}{\cos^2 a} ]

3. Найдем общий знаменатель для (\frac{1}{\sin^2 a} + \frac{1}{\cos^2 a}): Общий знаменатель будет (\sin^2 a \cos^2 a): [ \frac{1}{\sin^2 a} + \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin^2 a \cos^2 a} ] Снова используя (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), получаем: [ \frac{1}{\sin^2 a \cos^2 a} ]

4. Теперь мы можем записать всю левую часть: [ 1 + \cot^2 a + \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a \cos^2 a} ]

Таким образом, мы пришли к правой части тождества: [ 1 + \cot^2 a + \frac{1}{\cos^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a \cos^2 a} ]

Следовательно, тождество доказано.

Рассмотрим тождество, которое нужно доказать:

[ 1 + \cot^2 \alpha + \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}. ]

1. Вспомним основные тригонометрические формулы:

• Основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ]
• Определение котангенса: [ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. ] Поэтому: [ \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}. ]

Теперь подставим (\cot^2 \alpha) в левую часть.

2. Преобразуем левую часть:

Левая часть равенства: [ 1 + \cot^2 \alpha + \frac{1}{\cos^2 \alpha}. ] Подставляем (\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}): [ 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha}. ]

3. Приведём к общему знаменателю:

Общий знаменатель для всех слагаемых — (\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha). Перепишем каждое слагаемое в этом знаменателе:

• (1 = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}),
• (\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}),
• (\frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}).

Теперь сложим эти три дроби: [ 1 + \cot^2 \alpha + \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}. ]

Объединим всё в одну дробь: [ \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}. ]

4. Упростим числитель:

В числителе: [ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha. ] Группируем: [ (\sin^2 \alpha + \cos^4 \alpha) + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha. ]

Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1), чтобы заменить (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) на 1. Таким образом: [ \sin^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1. \