Докажите неравенство: а) (x+1)^2 > x (x+2) б) a^2+1 >= 2(3a-4) Помогите пожалуйста !

а) Рассмотрим неравенство (x+1)^2 > x(x+2).

Раскроем скобки слева: x^2 + 2x + 1. Раскроем скобки справа: x^2 + 2x.

Таким образом, неравенство принимает вид: x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x.

Вычитаем x^2 и 2x из обеих частей неравенства: 1 > 0.

Так как 1 всегда больше 0, то исходное неравенство (x+1)^2 > x(x+2) верно для всех x.

б) Рассмотрим неравенство a^2 + 1 >= 2(3a-4).

Раскроем скобки справа: a^2 + 1 >= 6a - 8.

Вычтем 6a и прибавим 8 к обеим частям неравенства: a^2 - 6a + 9 >= 0.

Разложим квадрат: (a - 3)^2 >= 0.

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, поэтому исходное неравенство a^2 + 1 >= 2(3a-4) верно для всех a.

Давайте разберём каждое неравенство по отдельности:

а) Доказательство неравенства ((x+1)^2 > x(x+2))

Для начала раскроем скобки в обеих частях неравенства: [ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 ] [ x(x+2) = x^2 + 2x ] Теперь подставим их обратно в неравенство: [ x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x ] Вычитаем из обеих частей (x^2 + 2x): [ 1 > 0 ] Поскольку это верное утверждение, исходное неравенство ((x+1)^2 > x(x+2)) верно для всех (x).

б) Доказательство неравенства (a^2 + 1 \geq 2(3a - 4))

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства: [ 2(3a - 4) = 6a - 8 ] Подставляем в неравенство: [ a^2 + 1 \geq 6a - 8 ] Перенесем все члены на одну сторону для преобразования в стандартную форму квадратного уравнения: [ a^2 - 6a + 9 \geq 0 ] Заметим, что это выражение можно представить как квадрат разности: [ (a-3)^2 \geq 0 ] Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, неравенство ((a-3)^2 \geq 0) верно для всех (a), и соответственно, исходное неравенство (a^2 + 1 \geq 2(3a - 4)) также верно для всех (a).

Итак, оба неравенства доказаны и верны для всех допустимых значений переменных.