Докажите неравенство:
а) (3у – 1)(2у + 1) > (2у – 1)(2 + 3у);
б) (х – 5)2 + 3х > 7(1 – х).
Докажите неравенство:
а) (3у – 1)(2у + 1) > (2у – 1)(2 + 3у);
б) (х – 5)2 + 3х > 7(1 – х).
Конечно, давайте докажем каждое из этих неравенств.
Раскроем скобки в левой части:
[ (3y - 1)(2y + 1) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot 1 - 1 \cdot 2y - 1 \cdot 1 ]
[ = 6y^2 + 3y - 2y - 1 = 6y^2 + y - 1 ]
Раскроем скобки в правой части:
[ (2y - 1)(2 + 3y) = 2y \cdot 2 + 2y \cdot 3y - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3y ]
[ = 4y + 6y^2 - 2 - 3y = 6y^2 + y - 2 ]
Теперь сравним обе части:
Левая часть: (6y^2 + y - 1)
Правая часть: (6y^2 + y - 2)
Чтобы доказать неравенство, покажем, что:
[ 6y^2 + y - 1 > 6y^2 + y - 2 ]
Упростим:
[ -1 > -2 ]
Это верное утверждение, следовательно, неравенство доказано.
Раскроем квадрат в левой части:
[ (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25 ]
Таким образом, левая часть становится:
[ x^2 - 10x + 25 + 3x = x^2 - 7x + 25 ]
Раскроем скобки в правой части:
[ 7(1 - x) = 7 - 7x ]
Сравним обе части:
Необходимо доказать, что:
[ x^2 - 7x + 25 > 7 - 7x ]
Упростим:
[ x^2 - 7x + 25 > 7 - 7x ]
Переносим все члены на одну сторону:
[ x^2 - 7x + 25 - 7 + 7x > 0 ]
Упростим:
[ x^2 + 18 > 0 ]
Это неравенство верно для всех действительных чисел (x), так как (x^2) всегда неотрицательно, а (+18) делает выражение строго положительным.
Следовательно, оба неравенства доказаны.
а) Раскроем скобки: 6y^2 + 3y - 2y - 1 > 4y + 6y - 2 - 3y 6y^2 + y - 1 > 4y + 3y - 2 - 3y 6y^2 + y - 1 > 4y 6y^2 - 3y - 1 > 0
Далее решим квадратное уравнение: D = (-3)^2 - 46(-1) = 9 + 24 = 33
y = (3 +/- sqrt(33)) / 12
Таким образом, неравенство (3у – 1)(2у + 1) > (2у – 1)(2 + 3у) выполняется для всех у, кроме тех, которые удовлетворяют условию y = (3 +/- sqrt(33)) / 12.
б) Раскроем скобки: x^2 - 10x + 25 + 3x > 7 - 7x x^2 - 7x + 25 > 7 - 7x
Перенесем все члены в левую часть: x^2 - 7x + 7x - 25 - 7 > 0 x^2 - 32 > 0
Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому будет выполняться для всех x.
Итак, неравенство (х – 5)2 + 3х > 7(1 – х) верно для всех x.
