Докажите из равенства x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx следует,что x=y=z Ааа,спасите пожалуйста! :(

Для доказательства того, что из равенства x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx следует, что x = y = z, можно воспользоваться методом дифференциации по переменной.

Допустим, что x ≠ y ≠ z. Тогда можно предположить, что x > y > z. Из этого следует, что x - y > 0 и y - z > 0.

Рассмотрим выражение (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2. Подставим значения переменных из равенства x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx:

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 + z^2 - 2zx + x^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx) = 0

Таким образом, мы получили, что (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0, что возможно только в случае, когда x = y = z.

Следовательно, из равенства x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx следует, что x = y = z.

Давайте рассмотрим уравнение ( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx ).

1. Перепишем уравнение: ( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx ).

2. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: ( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0 ).

3. Упорядочим члены уравнения: ( x^2 - xy + y^2 - yz + z^2 - zx = 0 ).

4. Перегруппируем члены уравнения: ( \frac{1}{2} \left( 2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2yz + 2z^2 - 2zx \right) = 0 ).

5. Используем формулу квадрата разности: ( \frac{1}{2} \left( (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \right) = 0 ).

6. Умножим на 2 обе стороны уравнения: ( (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 ).

7. Поскольку сумма квадратов равна нулю, каждый из квадратов должен быть равен нулю: ( (x - y)^2 = 0 ), ( (y - z)^2 = 0 ), ( (z - x)^2 = 0 ).

8. Из каждого равенства следует, что: ( x - y = 0 \Rightarrow x = y ), ( y - z = 0 \Rightarrow y = z ), ( z - x = 0 \Rightarrow z = x ).

9. Таким образом,: ( x = y = z ).

Мы доказали, что из уравнения ( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx ) следует, что ( x = y = z ).