Докажите что значение выражения 216^5-36^7 кратно 5.

Чтобы доказать, что значение выражения (216^5 - 36^7) кратно 5, воспользуемся теоремой о делимости разности чисел на число (n): если (a \equiv b \pmod{n}), то (a^k \equiv b^k \pmod{n}) для любого натурального (k).

Начнем с поиска остатков от деления чисел 216 и 36 на 5.

1. Остаток от деления 216 на 5:

   [ 216 \div 5 = 43 \quad \text{(целая часть)} \quad \Rightarrow \quad 216 = 5 \times 43 + 1 ]

   Таким образом, (216 \equiv 1 \pmod{5}).

2. Остаток от деления 36 на 5:

   [ 36 \div 5 = 7 \quad \text{(целая часть)} \quad \Rightarrow \quad 36 = 5 \times 7 + 1 ]

   Таким образом, (36 \equiv 1 \pmod{5}).

Теперь подставим эти остатки в исходное выражение:

[ 216^5 - 36^7 ]

С учетом вышеуказанного, получаем:

[ 216 \equiv 1 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad 216^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5} ]

[ 36 \equiv 1 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad 36^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \pmod{5} ]

Теперь рассмотрим разность:

[ 216^5 - 36^7 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5} ]

Таким образом, (216^5 - 36^7) делится на 5 без остатка, что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что значение выражения (216^5 - 36^7) кратно 5, необходимо заметить, что каждое из чисел 216 и 36 делится на 3. Так как (216 = 3^3 \times 2^3) и (36 = 3^2 \times 2^2), то выражение можно переписать следующим образом:

(216^5 - 36^7 = (3^3 \times 2^3)^5 - (3^2 \times 2^2)^7 = 3^{15} \times 2^{15} - 3^{14} \times 2^{14}).

Теперь можно заметить, что оба члена выражения делятся на (3^{14} \times 2^{14}):

(216^5 - 36^7 = 3^{14} \times (3 \times 2)^{15} - 3^{14} \times 2^{14} = 3^{14} \times (3 \times 2)^{14} \times (3 \times 2 - 1)).

Поскольку (3 \times 2 - 1 = 5), то выражение (216^5 - 36^7) делится на 5, что и требовалось доказать.