Докажите, что при любом n квадрат размера 2^n на 2^n без одной угловой клетки можно разбить на уголки...

Для доказательства того, что квадрат размером (2^n \times 2^n) без одной угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток (тромино), мы используем метод математической индукции.

База индукции:

Рассмотрим случай (n = 1). Квадрат размером (2^1 \times 2^1) — это обычный квадрат (2 \times 2). Если убрать одну угловую клетку из этого квадрата, остаётся три клетки, которые можно легко расположить в форме тромино (уголка). Таким образом, утверждение верно для (n = 1).

Шаг индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого (k = n), то есть квадрат размером (2^n \times 2^n) без одной угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток.

Теперь докажем, что утверждение верно для (k = n+1), то есть для квадрата размером (2^{n+1} \times 2^{n+1}).

1. Разделим квадрат (2^{n+1} \times 2^{n+1}) на четыре квадрата размером (2^n \times 2^n).

2. Пусть одна угловая клетка удалена из всего квадрата (2^{n+1} \times 2^{n+1}). Эта удалённая клетка находится в одном из четырёх (2^n \times 2^n) квадратов.

3. Согласно предположению индукции, этот квадрат (2^n \times 2^n) без одной клетки можно полностью заполнить тромино.

4. В трёх оставшихся квадратах (2^n \times 2^n) удалим по одной угловой клетке так, чтобы все три удалённые клетки образовывали центр большого тромино, расположенного на стыке всех четырёх квадратов (2^n \times 2^n).

5. Теперь каждый из трёх оставшихся квадратов также имеет ровно одну удалённую клетку, что позволяет применить предположение индукции и заполнить каждый из них тромино.

Таким образом, весь квадрат (2^{n+1} \times 2^{n+1}) без одной угловой клетки можно разбить на тромино.

Это завершает индуктивный шаг, и мы доказали, что утверждение верно для любого (n \geq 1).

Таким образом, квадрат размера (2^n \times 2^n) без одной угловой клетки всегда можно разбить на уголки из трёх клеток.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим квадрат размера 2^n на 2^n без одной угловой клетки. Разобъем данный квадрат на 4 квадрата размером 2^(n-1) на 2^(n-1). Заметим, что один из этих квадратов не содержит угловой клетки.

Рассмотрим этот квадрат. Мы можем разбить его на 4 квадрата размером 2^(n-2) на 2^(n-2). Опять же, один из этих квадратов не содержит угловой клетки.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность квадратов размера 2^1 на 2^1, 2^0 на 2^0, каждый раз оставляя одну клетку без угловой клетки. Таким образом, мы можем разбить исходный квадрат на уголки из трёх клеток.

Таким образом, при любом n квадрат размера 2^n на 2^n без одной угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток.