Доказать тождество: (sin^2a - cos^2a)^2 + 2cos^2a sin^2a = sin^4a + cos^4a

Чтобы доказать данное тождество, начнем с левой части:

(sin^2a - cos^2a)^2 + 2cos^2a sin^2a (sin^2a - cos^2a)(sin^2a - cos^2a) + 2cos^2a sin^2a (sin^4a - sin^2a cos^2a - cos^2a sin^2a + cos^4a) + 2cos^2a sin^2a (sin^4a - 2sin^2a cos^2a + cos^4a) + 2cos^2a sin^2a sin^4a - 2sin^2a cos^2a + cos^4a + 2cos^2a sin^2a sin^4a - 2sin^2a cos^2a + cos^4a + 2sin^2a cos^2a sin^4a + cos^4a

Таким образом, мы видим, что левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Чтобы доказать данное тождество, начнем с левой части выражения и упростим её:

Левая часть: [ (\sin^2a - \cos^2a)^2 + 2\cos^2a \sin^2a ]

Раскроем скобки в первой части выражения: [ (\sin^2a - \cos^2a)^2 = \sin^4a - 2\sin^2a \cos^2a + \cos^4a ]

Теперь подставим это в наше выражение: [ \sin^4a - 2\sin^2a \cos^2a + \cos^4a + 2\cos^2a \sin^2a ]

Объединим подобные слагаемые: [ \sin^4a + \cos^4a - 2\sin^2a \cos^2a + 2\cos^2a \sin^2a ]

Заметим, что ( -2\sin^2a \cos^2a + 2\cos^2a \sin^2a = 0 ), поэтому выражение упрощается до: [ \sin^4a + \cos^4a ]

Таким образом, левая часть тождества привела нас к правой части: [ \sin^4a + \cos^4a ]

Следовательно, тождество доказано: [ (\sin^2a - \cos^2a)^2 + 2\cos^2a \sin^2a = \sin^4a + \cos^4a ]