Для построения графика функции y=(x−2)^6−1 необходимо перейти к вспомогательной системе координат. Определи координаты начальной точки O1 в вспомогательной системе координат.
Можно с объяснениями, пожалуйста.
Для построения графика функции y=(x−2)^6−1 необходимо перейти к вспомогательной системе координат. Определи координаты начальной точки O1 в вспомогательной системе координат.
Можно с объяснениями, пожалуйста.
Чтобы построить график функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ), необходимо использовать вспомогательную систему координат. Давайте разберем этот процесс поэтапно.
Функция ( y = (x - 2)^6 - 1 ) является модификацией базовой функции ( y = x^6 ), которая представляет собой четную функцию с симметрией относительно оси ( y ). График ( y = x^6 ) имеет характерную форму: он растет для больших ( x ), уменьшается при ( x \to 0 ), достигая минимального значения в точке ( (0, 0) ).
Модификация функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ) включает:
При анализе такой функции часто удобно перейти к вспомогательной системе координат ( O_1 ), чтобы упростить построение графика. Вспомогательная система координат ( O_1 ) центрируется в новой точке, где находится вершина графика функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ).
Чтобы найти координаты точки ( O_1 ), обратим внимание на модификации графика:
Таким образом, координаты начальной точки ( O_1 ) во вспомогательной системе координат равны: [ O_1(2, -1). ]
Вспомогательная система координат с начальной точкой ( O_1 ) упрощает анализ функции. Если мы переходим к новой системе координат с центром в ( O_1(2, -1) ), то функция в этой системе будет иметь вид: [ y' = x'^6, ] где ( x' ) и ( y' ) — координаты в новой системе координат. Это позволяет легко построить график, так как он будет симметричным относительно новой точки ( O_1(2, -1) ).
Вспомогательная система координат с начальной точкой ( O_1(2, -1) ) помогает упростить построение графика функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ). В этой системе центр графика смещен в новую вершину, а форма графика остается такой же, как у функции ( y = x^6 ).
Для построения графика функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ) удобно использовать вспомогательную систему координат, в которой можно выделить начальную точку.
Анализ функции: Функция ( y = (x - 2)^6 - 1 ) является преобразованием функции ( y = x^6 ). Здесь происходит сдвиг вправо на 2 единицы и вниз на 1 единицу.
Определение начальной точки: Для функции ( y = (x - 2)^6 ) точка минимума находится в ( x = 2 ). Подставим это значение в уравнение: [ y = (2 - 2)^6 - 1 = 0 - 1 = -1. ] Таким образом, в оригинальной системе координат точка ( O(2, -1) ) является начальной точкой.
Переход к вспомогательной системе координат: Чтобы упростить график, мы можем ввести новую систему координат, где точка ( O(2, -1) ) будет началом координат. Обозначим новую систему координат как ( O_1(0, 0) ). Для этого нам нужно сдвинуть координаты на 2 по оси ( x ) и на 1 по оси ( y ).
Координаты начальной точки в вспомогательной системе:
Таким образом, координаты начальной точки ( O_1 ) в вспомогательной системе координат равны ( (0, 0) ).
Для построения графика функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ) удобно использовать вспомогательную систему координат, чтобы упростить анализ функции и облегчить построение графика.
В данной функции мы видим, что выражение ( (x - 2)^6 ) указывает на смещение графика относительно оси ( x ) на 2 единицы вправо. Также функция имеет постоянный член ( -1 ), что означает, что весь график будет смещен вниз на 1 единицу.
Для упрощения анализа, мы можем ввести новую переменную:
[ u = x - 2 ]
Таким образом, мы можем переписать функцию в зависимости от переменной ( u ):
[ y = u^6 - 1 ]
Теперь у нас есть функция ( y ) в зависимости от ( u ), что позволяет легче анализировать её поведение.
В новой системе координат, где ( u = x - 2 ), начальная точка ( O_1 ) будет соответствовать значению ( u = 0 ). Это происходит, когда:
[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]
Теперь подставим значение ( u = 0 ) в функцию ( y = u^6 - 1 ):
[ y = 0^6 - 1 = -1 ]
Таким образом, в новой системе координат начальная точка ( O_1 ) имеет координаты:
[ O_1(0, -1) ]
Теперь, чтобы определить координаты точки ( O_1 ) в исходной системе координат ( (x, y) ), нам надо перевести координаты из вспомогательной системы обратно:
Таким образом, точка ( O_1 ) в исходной системе координат будет иметь координаты:
[ O_1(2, -1) ]
Итак, для построения графика функции ( y = (x - 2)^6 - 1 ) в вспомогательной системе координат, начальная точка ( O_1 ) имеет координаты ( (0, -1) ). В исходной системе координат эта точка соответствует координатам ( (2, -1) ). Это смещение позволяет легче визуализировать и анализировать график функции.
