Для функции y=2x^2-2x-5 найдите ту первообразную , график которой проходит через точку А(2;-1)

Чтобы найти первообразную функции ( y = 2x^2 - 2x - 5 ), нам нужно интегрировать эту функцию. После этого мы используем заданную точку ( A(2; -1) ) для определения постоянной интегрирования.

1. Интегрирование функции:

   Найдем неопределенный интеграл от функции ( y = 2x^2 - 2x - 5 ): [ \int (2x^2 - 2x - 5) \, dx ]

   Интегрируем каждый член по отдельности: [ \int 2x^2 \, dx - \int 2x \, dx - \int 5 \, dx ]

   Интегралы вычисляются следующим образом: [ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 ] [ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 ] [ \int 5 \, dx = 5x ]

   Таким образом, первообразная будет: [ \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + C ] где ( C ) — постоянная интегрирования.

2. Использование точки ( A(2; -1) ) для нахождения ( C ):

   Подставим координаты точки ( A(2; -1) ) в найденную первообразную: [ -1 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 - 2^2 - 5 \cdot 2 + C ]

   Вычислим значения: [ -1 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 - 10 + C ] [ -1 = \frac{16}{3} - 4 - 10 + C ] Приведем все к общему знаменателю, чтобы упростить вычисления: [ -1 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} - \frac{30}{3} + C ] [ -1 = \frac{16 - 12 - 30}{3} + C ] [ -1 = \frac{-26}{3} + C ]

   Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дроби: [ -3 = -26 + 3C ] Решим уравнение для ( C ): [ 3C = 23 ] [ C = \frac{23}{3} ]

3. Запись окончательной первообразной функции:

   Подставим найденное значение ( C ) в общую форму первообразной: [ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + \frac{23}{3} ]

Таким образом, первообразная функции ( y = 2x^2 - 2x - 5 ), график которой проходит через точку ( A(2; -1) ), имеет вид: [ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 5x + \frac{23}{3} ]

Для нахождения первообразной функции необходимо произвести обратное действие по отношению к производной данной функции.

Итак, дано уравнение функции y=2x^2-2x-5. Найдем первообразную этой функции, взяв интеграл от данного уравнения:

∫(2x^2-2x-5)dx = (2/3)x^3 - x^2 - 5x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной С, используем условие, что график данной первообразной проходит через точку А(2;-1). Подставляя координаты точки в уравнение первообразной, получаем:

(2/3)(2)^3 - (2)^2 - 5(2) + C = -1, (16/3) - 4 - 10 + C = -1, 16/3 - 14 + C = -1, (16 - 42 + 3C)/3 = -1, (3C - 26)/3 = -1, 3C - 26 = -3, 3C = 23, C = 23/3.

Таким образом, первообразная функции y=2x^2-2x-5, проходящая через точку А(2;-1), имеет вид:

F(x) = (2/3)x^3 - x^2 - 5x + 23/3.

Первообразная функции y=2x^2-2x-5, проходящая через точку A(2;-1), имеет вид y = (2/3)x^3 - x^2 - 5x + C, где C - произвольная постоянная.