Для функции f(x)=3x^2-2x найдите первообразную, график которой проходит через точку М(1;4)

Первообразная функции f(x)=3x^2-2x, проходящая через точку М(1;4), равна F(x)=x^3-x^2+C, где C=0.

Для нахождения первообразной функции, проходящей через точку М(1;4), необходимо найти функцию F(x), производная которой равна данной функции f(x)=3x^2-2x.

Итак, для функции f(x)=3x^2-2x:

F(x) = ∫(3x^2-2x)dx F(x) = x^3 - x^2 + C

Теперь, учитывая условие прохождения через точку М(1;4), подставим x=1 и F(1)=4:

4 = 1^3 - 1^2 + C 4 = 1 - 1 + C 4 = C

Таким образом, первообразная функция, проходящая через точку М(1;4), имеет вид:

F(x) = x^3 - x^2 + 4

Для функции ( f(x) = 3x^2 - 2x ) необходимо найти первообразную, график которой проходит через точку ( M(1; 4) ).

Первообразная функции ( f(x) ) — это функция ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ). То есть ( F'(x) = f(x) ).

Для нахождения первообразной ( F(x) ) применим правило интегрирования для полиномиальных функций:

[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 2x) \, dx ]

Интегрируем каждый член функции отдельно:

[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 ]

[ \int -2x \, dx = -2 \int x \, dx = -2 \left( \frac{x^2}{2} \right) = -x^2 ]

Следовательно, первообразная имеет вид:

[ F(x) = x^3 - x^2 + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Теперь используем условие, что график функции ( F(x) ) проходит через точку ( M(1; 4) ). Это означает, что при ( x = 1 ) значение ( F(x) ) должно быть равно 4:

[ F(1) = 4 ]

Подставляем ( x = 1 ) в найденную первообразную:

[ F(1) = 1^3 - 1^2 + C = 1 - 1 + C = C ]

Так как ( F(1) = 4 ), то:

[ C = 4 ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 3x^2 - 2x ), график которой проходит через точку ( M(1; 4) ), имеет вид:

[ F(x) = x^3 - x^2 + 4 ]