Для функции f(x)=3x в 4 найдите первообразную F(x) , график который проходит через точку D(1;4)

Первообразная функции f(x)=3x - F(x) = (3/2)x^2 + C, где С - произвольная постоянная. Чтобы найти значение С, подставим точку D(1;4): 4 = (3/2)*1^2 + C, C = 2. Таким образом, первообразная функции f(x)=3x, проходящая через точку D(1;4), будет F(x) = (3/2)x^2 + 2.

Для нахождения первообразной функции F(x) для функции f(x)=3x, нужно произвести обратную операцию к дифференцированию. Так как производная от функции f(x) равна 3, то первообразная функции будет равна F(x)=3/2*x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной С и удовлетворить условие прохождения графика через точку D(1;4), подставим x=1 и F(1)=4 в уравнение F(x). Получим:

4 = 3/2 * 1^2 + C 4 = 3/2 + C C = 4 - 3/2 C = 5/2

Таким образом, первообразная функции F(x)=3/2*x^2 + 5/2. График этой функции будет проходить через точку D(1;4).

Для нахождения первообразной функции ( f(x) = 3x ) нужно выполнить интегрирование этой функции. Интеграл функции ( f(x) ) по ( x ) записывается как:

[ F(x) = \int 3x \, dx ]

Когда мы интегрируем, мы применяем правило интегрирования степенных функций. Для функции ( f(x) = ax^n ), где ( a ) — константа, первообразная будет:

[ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C ]

В нашем случае ( f(x) = 3x ), что можно рассматривать как ( 3x^1 ). Применяя правило интегрирования, мы получаем:

[ F(x) = \int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C = \frac{3}{2} x^2 + C ]

Теперь у нас есть общий вид первообразной функции ( F(x) = \frac{3}{2} x^2 + C ). Чтобы найти константу ( C ), мы воспользуемся условием, что график функции проходит через точку ( D(1; 4) ). Это означает, что когда ( x = 1 ), значение ( F(x) ) должно быть равно 4. Подставим эти значения в уравнение первообразной:

[ 4 = \frac{3}{2} (1)^2 + C ]

Решим это уравнение для ( C ):

[ 4 = \frac{3}{2} \cdot 1 + C ] [ 4 = \frac{3}{2} + C ] [ C = 4 - \frac{3}{2} ] [ C = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} ] [ C = \frac{5}{2} ]

Таким образом, константа ( C ) равна ( \frac{5}{2} ). Подставим это значение обратно в уравнение первообразной:

[ F(x) = \frac{3}{2} x^2 + \frac{5}{2} ]

Итак, первообразная функции ( f(x) = 3x ), график которой проходит через точку ( D(1; 4) ), имеет вид:

[ F(x) = \frac{3}{2} x^2 + \frac{5}{2} ]