Для функции f(x)=1/(sin2x) найдите первообразную F(x),график которой проходит через точку (π/4; 5)
Для функции f(x)=1/(sin2x) найдите первообразную F(x),график которой проходит через точку (π/4; 5)
Рассмотрим задачу по нахождению первообразной функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ), где график первообразной ( F(x) ) проходит через точку ( (\frac{\pi}{4}, 5) ).
Функция ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ) записывается как ( \csc(2x) ), где ( \csc(2x) ) — это косеканс. Поэтому задача сводится к нахождению интеграла от ( \csc(2x) ):
[ F(x) = \int \csc(2x) \, dx. ]
Для нахождения интеграла от косеканса воспользуемся известной формулой:
[ \int \csc(u) \, du = -\ln|\csc(u) + \cot(u)| + C, ]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования. В данном случае ( u = 2x ), поэтому ( du = 2 \, dx ). Из этого следует, что:
[ \int \csc(2x) \, dx = \frac{-1}{2} \ln|\csc(2x) + \cot(2x)| + C. ]
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ) имеет вид:
[ F(x) = \frac{-1}{2} \ln|\csc(2x) + \cot(2x)| + C. ]
Из условия задачи известно, что график первообразной ( F(x) ) проходит через точку ( \left( \frac{\pi}{4}, 5 \right) ). Это значит, что при ( x = \frac{\pi}{4} ), значение ( F(x) = 5 ). Подставим это в выражение для первообразной:
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-1}{2} \ln\left|\csc\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + \cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right| + C. ]
Упростим выражение. При ( x = \frac{\pi}{4} ), ( 2x = \frac{\pi}{2} ). Зная значения тригонометрических функций:
[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, \quad \csc\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 1, \quad \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 0. ]
Подставляем эти значения:
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-1}{2} \ln\left| 1 + 0 \right| + C = \frac{-1}{2} \ln(1) + C. ]
Так как ( \ln(1) = 0 ), то:
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = C. ]
Из условия ( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 ), значит:
[ C = 5. ]
Подставим найденное значение ( C = 5 ) в уравнение первообразной. Таким образом, первообразная ( F(x) ) имеет вид:
[ F(x) = \frac{-1}{2} \ln|\csc(2x) + \cot(2x)| + 5. ]
Первообразная функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ), график которой проходит через точку ( \left(\frac{\pi}{4}, 5\right) ), равна:
[ F(x) = \frac{-1}{2} \ln|\csc(2x) + \cot(2x)| + 5. ]
Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ), сначала найдем её интеграл:
[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{\sin(2x)} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left|\tan(x) + \sec(x)\right| + C ]
Теперь, чтобы определить константу ( C ), используем условие, что график проходит через точку ( \left(\frac{\pi}{4}, 5\right) ):
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| + C = 5 ] [ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1, \quad \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} ] [ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \ln(1 + \sqrt{2}) + C = 5 ] [ C = 5 - \frac{1}{2} \ln(1 + \sqrt{2}) ]
Таким образом, первообразная будет:
[ F(x) = \frac{1}{2} \ln\left|\tan(x) + \sec(x)\right| + 5 - \frac{1}{2} \ln(1 + \sqrt{2}) ]
Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ), начнем с нахождения её интеграла.
Запишем интеграл:
[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{\sin(2x)} \, dx ]
Поскольку (\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)), мы можем переписать интеграл:
[ F(x) = \int \frac{1}{2 \sin(x) \cos(x)} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \, dx ]
Заметим, что:
[ \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} ]
Это позволяет переписать интеграл как:
[ F(x) = \frac{1}{2} \int \frac{2}{\sin(2x)} \, dx = \int \csc(2x) \, dx ]
Интеграл (\int \csc(kx) \, dx) имеет известный результат:
[ \int \csc(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \ln \left| \csc(kx) + \cot(kx) \right| + C ]
Для (k = 2):
[ \int \csc(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \ln \left| \csc(2x) + \cot(2x) \right| + C ]
Таким образом, первообразная (F(x)) будет:
[ F(x) = -\frac{1}{2} \ln \left| \csc(2x) + \cot(2x) \right| + C ]
Теперь мы знаем, что график первообразной проходит через точку (\left( \frac{\pi}{4}, 5 \right)). Подставим это значение в уравнение:
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \ln \left| \csc\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + \cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right| + C = 5 ]
Упрощаем:
[ 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} ]
Значения (\csc\left(\frac{\pi}{2}\right)) и (\cot\left(\frac{\pi}{2}\right)):
[ \csc\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1, \quad \cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 ]
Подставляем в уравнение:
[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \ln |1 + 0| + C = -\frac{1}{2} \ln(1) + C = C ]
Таким образом, у нас получается:
[ C = 5 ]
Теперь мы можем записать окончательное уравнение первообразной:
[ F(x) = -\frac{1}{2} \ln \left| \csc(2x) + \cot(2x) \right| + 5 ]
Это и есть искомая первообразная функции ( f(x) = \frac{1}{\sin(2x)} ), которая проходит через заданную точку.
