Даны векторы: Вектор a {1;-2;0} и вектор b {-2;0;4}. Найдите значение m и n, при которых векторы 3 вектор...

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, один из них должен быть пропорционален другому, то есть один из векторов должен являться скалярным произведением другого на некоторое число (коэффициент пропорциональности).

Даны векторы:

• Вектор ( \mathbf{a} = {1, -2, 0} )
• Вектор ( \mathbf{b} = {-2, 0, 4} )
• Вектор ( \mathbf{c} = {8, m, n} )

Найдем вектор ( \mathbf{d} = 3\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} ):

1. Умножим вектор ( \mathbf{a} ) на 3: [ 3\mathbf{a} = 3 \cdot {1, -2, 0} = {3, -6, 0} ]

2. Умножим вектор ( \mathbf{b} ) на (-\frac{1}{2}): [ -\frac{1}{2}\mathbf{b} = -\frac{1}{2} \cdot {-2, 0, 4} = {1, 0, -2} ]

3. Найдем вектор ( \mathbf{d} ) как разность векторов ( 3\mathbf{a} ) и (-\frac{1}{2}\mathbf{b} ): [ \mathbf{d} = {3, -6, 0} + {1, 0, -2} = {4, -6, -2} ]

Теперь, чтобы векторы ( \mathbf{d} ) и ( \mathbf{c} ) были коллинеарны, должны выполняться следующие условия: [ \frac{8}{4} = \frac{m}{-6} = \frac{n}{-2} ]

Решая эти уравнения, получим:

1. Из первого уравнения: [ \frac{8}{4} = 2 \implies m = 2 \cdot (-6) = -12 ]

2. Из второго уравнения: [ \frac{8}{4} = 2 \implies n = 2 \cdot (-2) = -4 ]

Таким образом, значения ( m ) и ( n ), при которых векторы коллинеарны, равны ( m = -12 ) и ( n = -4 ).

Для того чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельны и лежали на одной прямой. Два вектора коллинеарны, если один является кратным другого. То есть, если вектор a коллинеарен вектору b, то существуют такие числа k1 и k2, что a = k1 * b.

Для данной задачи у нас есть три вектора: a = {1;-2;0}, b = {-2;0;4} и c = {8;m;n}. Мы знаем, что векторы 3a и -1/2b коллинеарны вектору c. Это означает, что 3a = k1 c и -1/2b = k2 c для некоторых чисел k1 и k2.

Сначала найдем k1. У нас есть 3a = {3; -6; 0} и c = {8; m; n}. Это означает, что {3; -6; 0} = k1 * {8; m; n}. Из этого уравнения мы можем записать систему уравнений: 3 = 8k1 -6 = mk1 0 = nk1

Решая эту систему, мы найдем значения k1, m и n: k1 = 3/8 m = -6/8 = -3/4 n = 0

Теперь найдем k2. У нас есть -1/2b = {-1; 0; 2} и c = {8; m; n}. Это означает, что {-1; 0; 2} = k2 * {8; m; n}. Из этого уравнения мы можем записать систему уравнений: -1 = 8k2 0 = mk2 2 = nk2

Решая эту систему, мы найдем значения k2, m и n: k2 = -1/8 m = 0 n = 2/(-1/8) = -16

Таким образом, значения m и n, при которых векторы 3a, -1/2b и c коллинеарны, равны m = -3/4 и n = -16.