Даны векторы а {-2;3;1} и b {1;4;-3}. Определить При каких значениях k, угол между векторами a+k*b и...

Чтобы определить, при каких значениях ( k ) угол между векторами ( \mathbf{a} + k\mathbf{b} ) и ( \mathbf{b} ) будет острым, прямым или тупым, воспользуемся понятием скалярного произведения векторов и его свойством, что угол между векторами определяется как:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} ]

где (\mathbf{u}) и (\mathbf{v}) - векторы, (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) - их скалярное произведение, (|\mathbf{u}|) и (|\mathbf{v}|) - длины векторов.

Рассмотрим скалярное произведение (\mathbf{a} + k\mathbf{b}) и (\mathbf{b}):

[ (\mathbf{a} + k\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + k(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) ]

Вычислим (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-3) = -2 + 12 - 3 = 7 ]

Вычислим (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}):

[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 4^2 + (-3)^2 = 1 + 16 + 9 = 26 ]

Таким образом, скалярное произведение ((\mathbf{a} + k\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}) будет равно:

[ (\mathbf{a} + k\mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = 7 + 26k ]

1. Угол между векторами острый, если скалярное произведение положительно:

[ 7 + 26k > 0 \implies 26k > -7 \implies k > -\frac{7}{26} ]

1. Угол между векторами прямой, если скалярное произведение равно нулю:

[ 7 + 26k = 0 \implies 26k = -7 \implies k = -\frac{7}{26} ]

1. Угол между векторами тупой, если скалярное произведение отрицательно:

[ 7 + 26k < 0 \implies 26k < -7 \implies k < -\frac{7}{26} ]

Таким образом, для различных значений ( k ) угол между векторами (\mathbf{a} + k\mathbf{b}) и (\mathbf{b}) будет:

а) Острый, если ( k > -\frac{7}{26} ).

б) Прямой, если ( k = -\frac{7}{26} ).

в) Тупой, если ( k < -\frac{7}{26} ).

Для определения угла между векторами a+k*b и b необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a+kb) b / (||a+kb|| ||b||)

где a, b - векторы, k - константа, θ - угол между векторами, ||a+kb|| и ||b|| - длины векторов a+kb и b соответственно.

Так как угол между векторами может быть острый, прямой или тупой, то необходимо рассмотреть каждый случай отдельно.

а) Острый угол (0° < θ < 90°): В случае острого угла косинус угла θ будет положительным. То есть cos(θ) > 0. Таким образом, необходимо найти значения k, при которых выражение (a+kb) b положительно.

б) Прямой угол (θ = 90°): В случае прямого угла косинус угла θ будет равен нулю. То есть cos(θ) = 0. Необходимо найти значения k, при которых выражение (a+kb) b равно нулю.

в) Тупой угол (90° < θ < 180°): В случае тупого угла косинус угла θ будет отрицательным. То есть cos(θ) < 0. Необходимо найти значения k, при которых выражение (a+kb) b отрицательно.

Для каждого из случаев необходимо подставить значения векторов a и b, выразить их скалярное произведение и решить неравенство или уравнение, чтобы найти значения k, при которых выполняется условие.