Даны точки А(-1; 5; 3) В(-1; -3; 9) С(3; -2; 6) докажите что треугольник АВС -прямоугольный

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо проверить, что один из углов треугольника равен 90 градусам.

Для этого вычислим векторы AB, AC и BC, затем найдем их скалярные произведения. Если одно из скалярных произведений окажется равным нулю, то это будет означать, что угол между соответствующими векторами равен 90 градусам.

Вектор AB = B - A = (-1 - (-1); -3 - 5; 9 - 3) = (0; -8; 6) Вектор AC = C - A = (3 - (-1); -2 - 5; 6 - 3) = (4; -7; 3) Вектор BC = C - B = (3 - (-1); -2 - (-3); 6 - 9) = (4; 1; -3)

Вычислим скалярные произведения: AB AC = 04 + (-8)(-7) + 63 = 0 + 56 + 18 = 74 AB BC = 04 + (-8)1 + 6(-3) = 0 - 8 - 18 = -26 AC BC = 44 + (-7)1 + 3(-3) = 16 - 7 - 9 = 0

Таким образом, скалярное произведение векторов AC и BC равно нулю, что означает, что угол между ними равен 90 градусам. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

Чтобы доказать, что треугольник АВС прямоугольный, нам нужно убедиться, что один из его углов равен 90 градусов. Это можно сделать, найдя скалярное произведение векторов, составляющих стороны треугольника, и проверив, равно ли оно нулю. В случае, если скалярное произведение двух векторов равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит угол между ними прямой.

1. Найдем векторы, соответствующие сторонам треугольника:

   • Вектор AB: ( \vec{AB} = B - A = (-1 - (-1), -3 - 5, 9 - 3) = (0, -8, 6) )
   • Вектор AC: ( \vec{AC} = C - A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3) )
   • Вектор BC: ( \vec{BC} = C - B = (3 - (-1), -2 - (-3), 6 - 9) = (4, 1, -3) )

2. Теперь найдем скалярные произведения этих векторов:

   • ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 4 + (-8) \cdot (-7) + 6 \cdot 3 = 0 + 56 + 18 = 74 )
   • ( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 4 + (-8) \cdot 1 + 6 \cdot (-3) = 0 - 8 - 18 = -26 )
   • ( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 + (-7) \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = 16 - 7 - 9 = 0 )

Из этих вычислений видно, что скалярное произведение векторов ( \vec{AC} ) и ( \vec{BC} ) равно нулю. Это означает, что эти два вектора перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол между ними в треугольнике ABC является прямым.

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине C.

Для доказательства, что треугольник АВС прямоугольный, нужно убедиться, что одна из сторон является гипотенузой, а две другие стороны являются катетами. Для этого необходимо проверить выполнение теоремы Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2. Если данное равенство выполняется, то треугольник прямоугольный.