Дана геометрическая прогрессия 3;6;12;. найдите сумму первых пяти ее членов. решите умаляю

В данной геометрической прогрессии первый член ( a = 3 ), второй член ( b = 6 ), третий член ( c = 12 ).

Здесь, общее отношение ( q = \frac{6}{3} = 2 ).

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

Для первых 5 членов (( n = 5 )):

[ S_5 = 3 \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \frac{32 - 1}{1} = 3 \times 31 = 93 ]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 93.

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, начнем с определения её характеристик.

В данной прогрессии первый член ( a_1 = 3 ), второй член ( a_2 = 6 ), третий член ( a_3 = 12 ).

Чтобы найти общее соотношение между членами прогрессии, определим знаменатель прогрессии ( q ) (это отношение второго члена к первому):

[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2 ]

Теперь проверим, что это отношение также сохраняется для следующих членов:

[ \frac{a_3}{a_2} = \frac{12}{6} = 2 ]

Таким образом, мы подтвердили, что знаменатель прогрессии равен ( q = 2 ).

Теперь для нахождения первых пяти членов прогрессии используем формулу для ( n )-го члена геометрической прогрессии:

[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

Теперь найдем все пять членов:

1. ( a_1 = 3 )
2. ( a_2 = 3 \cdot 2^{1} = 6 )
3. ( a_3 = 3 \cdot 2^{2} = 12 )
4. ( a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24 )
5. ( a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 48 )

Таким образом, первые пять членов прогрессии: ( 3, 6, 12, 24, 48 ).

Теперь найдем их сумму. Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} ]

где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) — первый член, ( q ) — знаменатель прогрессии, ( n ) — количество членов.

Подставим значения:

[ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} ]

Теперь вычислим:

1. ( 2^5 = 32 )
2. ( 1 - 32 = -31 )
3. ( 1 - 2 = -1 )

Теперь подставим в формулу для суммы:

[ S_5 = 3 \cdot \frac{-31}{-1} = 3 \cdot 31 = 93 ]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна ( 93 ).

Давайте решим задачу пошагово.

Что дано:

• Геометрическая прогрессия: ( 3; 6; 12; \dots )
• Найти сумму первых пяти членов (( S_5 )).

Формула суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:

[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad \text{где:} ]

• ( b_1 ) — первый член прогрессии,
• ( q ) — знаменатель прогрессии (( q \neq 1 )),
• ( n ) — количество членов, сумму которых мы ищем.

1. Определим параметры прогрессии:

• Первый член (( b_1 )): ( b_1 = 3 ),
• Знаменатель прогрессии (( q )) — отношение любого следующего члена к предыдущему: [ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2, ] значит, ( q = 2 ).

Мы ищем сумму ( S_5 ), где ( n = 5 ).

2. Подставим всё в формулу суммы:

[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}. ] Для ( n = 5 ): [ S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}. ]

3. Вычислим шаг за шагом:

1. Найдём ( 2^5 ): [ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32. ]
2. Вычтем ( 1 ): [ 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31. ]
3. Разделим ( 31 ) на ( 1 ) (так как ( q - 1 = 2 - 1 = 1 )): [ \frac{31}{1} = 31. ]
4. Умножим результат на ( b_1 = 3 ): [ S_5 = 3 \cdot 31 = 93. ]

Ответ:

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна: [ S_5 = 93. ]