Дана функция y=x^3+3x^2-4 Найдите: А) промежутки возрастания и убывания функции; Б) точки экстремума;...

А) Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную этой функции. Для функции y=x^3+3x^2-4 производная будет равна y'=3x^2+6x. Далее, найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2+6x=0 => x(x+2)=0 => x=0 и x=-2. Теперь построим таблицу знаков производной:

x < -2: y' < 0 (функция убывает) -2 < x < 0: y' > 0 (функция возрастает) x > 0: y' > 0 (функция возрастает)

Б) Точки экстремума функции будут соответствовать точкам перегиба, которые мы уже нашли: x=0 и x=-2. Для нахождения значений функции в этих точках подставим их в исходную функцию: y(0)=0^3+30^2-4=-4, y(-2)=(-2)^3+3(-2)^2-4=-12. Таким образом, точки экстремума функции: (0, -4) и (-2, -12).

В) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1], необходимо вычислить значения функции в концах отрезка и в найденных точках экстремума. y(-4)=(-4)^3+3(-4)^2-4=-68, y(1)=1^3+31^2-4=0. Сравнивая эти значения с точками экстремума, получаем, что минимальное значение функции на отрезке [-4; 1] равно -68 (достигается в точке (-4, -68)), а максимальное значение функции равно 0 (достигается в точке (1, 0)).

Чтобы решить эту задачу, нам нужно провести анализ функции ( y = x^3 + 3x^2 - 4 ).

А) Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции и исследовать её знак.

1. Найдем производную функции:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 4) = 3x^2 + 6x ]

1. Найдем критические точки, решая уравнение ( y' = 0 ):

[ 3x^2 + 6x = 0 ]

Разделим обе части уравнения на 3:

[ x^2 + 2x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобки:

[ x(x + 2) = 0 ]

Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = -2 ).

1. Определим знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками:

• Для ( x \in (-\infty, -2) ), выберем тестовую точку ( x = -3 ): [ y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0 ] Производная положительна, функция возрастает.

• Для ( x \in (-2, 0) ), выберем тестовую точку ( x = -1 ): [ y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0 ] Производная отрицательна, функция убывает.

• Для ( x \in (0, \infty) ), выберем тестовую точку ( x = 1 ): [ y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0 ] Производная положительна, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках ( (-\infty, -2) ) и ( (0, \infty) ), и убывает на промежутке ( (-2, 0) ).

Б) Точки экстремума

Точки экстремума находятся в критических точках, где производная меняет знак.

• В точке ( x = -2 ), производная меняется с положительной на отрицательную, следовательно, ( x = -2 ) — точка максимума.
• В точке ( x = 0 ), производная меняется с отрицательной на положительную, следовательно, ( x = 0 ) — точка минимума.

Находим значения функции в этих точках:

• ( y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 )
• ( y(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 )

Точка максимума: ( (-2, 0) ).

Точка минимума: ( (0, -4) ).

В) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ([-4; 1])

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, вычислим значения функции в критических точках, попадающих в этот отрезок, и на концах отрезка.

1. Концы отрезка:

• ( y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20 )
• ( y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 )

1. Критические точки внутри отрезка:

• ( x = -2 ): уже найдено ( y(-2) = 0 )
• ( x = 0 ): уже найдено ( y(0) = -4 )

Сравниваем значения: (-20, -4, 0, 0).

Наименьшее значение: (-20) при ( x = -4 ).

Наибольшее значение: (0) при ( x = -2 ) и ( x = 1 ).

Таким образом, функция достигает наибольшего значения 0 и наименьшего значения -20 на отрезке ([-4; 1]).