Дана функция у=х^3-х^2-х+3. найдите: а) промежуткми возрастания и убывания функции. б) точки экстремума

Рассмотрим функцию ( y = x^3 - x^2 - x + 3 ). Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции ( y = x^3 - x^2 - x + 3 ) равна: [ y' = 3x^2 - 2x - 1. ]

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю: [ y' = 3x^2 - 2x - 1 = 0. ]

Решим квадратное уравнение: [ 3x^2 - 2x - 1 = 0. ]

Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16. ]

Корни уравнения находим по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставим значения: [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}. ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1. ]

Критические точки: ( x = -\frac{1}{3} ) и ( x = 1 ).

Шаг 3: Исследуем знаки производной

Разделим числовую ось на промежутки исходя из критических точек: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, 1) ), ( (1, +\infty) ).

Выясним знак производной на каждом из промежутков. Для этого подставим тестовые значения из каждого промежутка в производную ( y' = 3x^2 - 2x - 1 ).

1. На промежутке ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ): Возьмем тестовую точку ( x = -1 ): [ y'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0. ] Здесь производная положительна (( y' > 0 )), значит, функция возрастает.

2. На промежутке ( (-\frac{1}{3}, 1) ): Возьмем тестовую точку ( x = 0 ): [ y'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0. ] Здесь производная отрицательна (( y' < 0 )), значит, функция убывает.

3. На промежутке ( (1, +\infty) ): Возьмем тестовую точку ( x = 2 ): [ y'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 3 \cdot 4 - 4 - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0. ] Здесь производная положительна (( y' > 0 )), значит, функция возрастает.

Шаг 4: Промежутки возрастания и убывания

• Функция возрастает на промежутках ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
• Функция убывает на промежутке ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

Шаг 5: Найдем точки экстремума

Точки экстремума находятся в критических точках, где производная меняет знак.

1. В точке ( x = -\frac{1}{3} ): Производная меняется с ( + ) на ( - ) (функция переходит от возрастания к убыванию). Значит, в точке ( x = -\frac{1}{3} ) функция имеет максимум.

   Найдем значение функции в этой точке: [ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 3. ] Вычислим: [ y\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 3 = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + 3 = \frac{5}{27} + 3 = \frac{86}{27}. ] Максимум: ( y = \frac{86}{27} ) при ( x = -\frac{1}{3} ).

2. В точке ( x = 1 ): Производная меняется с ( - ) на ( + ) (функция переходит от убывания к возрастанию). Значит, в точке ( x = 1 ) функция имеет минимум.

   Найдем значение функции в этой точке: [ y(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2. ] Минимум: ( y = 2 ) при ( x = 1 ).

Ответ:

а) Промежутки возрастания: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (1, +\infty) ).
Промежуток убывания: ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

б) Точки экстремума:

• Максимум: ( \left(-\frac{1}{3}, \frac{86}{27}\right) ).
• Минимум: ( (1, 2) ).

Для анализа функции ( y = x^3 - x^2 - x + 3 ) на возрастание, убывание и нахождение точек экстремума, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

Чтобы определить, где функция возрастает и убывает, начнем с нахождения первой производной:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - x + 3) = 3x^2 - 2x - 1. ]

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

[ 3x^2 - 2x - 1 = 0. ]

Используем формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 3, b = -2, c = -1 ).

Подставим значения:

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}. ]

Таким образом, получаем два решения:

[ x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}. ]

3. Определим интервалы:

Теперь нужно определить знаки производной на интервалах, которые образуют критические точки:

1. ( (-\infty, -\frac{1}{3}) )
2. ( (-\frac{1}{3}, 1) )
3. ( (1, +\infty) )

Выберем тестовые точки в каждом интервале:

• Для ( x = -1 ) (интервал ( (-\infty, -\frac{1}{3}) )): [ y'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 \quad \text{(возрастает)} ]

• Для ( x = 0 ) (интервал ( (-\frac{1}{3}, 1) )): [ y'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \quad \text{(убывает)} ]

• Для ( x = 2 ) (интервал ( (1, +\infty) )): [ y'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 \quad \text{(возрастает)} ]

4. Подводим итоги о промежутках:

• Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
• Функция убывает на интервале ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

5. Определим точки экстремума:

Поскольку в точках ( x = -\frac{1}{3} ) и ( x = 1 ) производная меняет знак, мы можем утверждать:

• В точке ( x = -\frac{1}{3} ) находится локальный максимум (так как функция возрастает до этой точки и убывает после).
• В точке ( x = 1 ) находится локальный минимум (так как функция убывает до этой точки и возрастает после).

6. Находим значения функции в точках экстремума:

Теперь вычислим значения функции в этих точках:

[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 3 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 3. ] Сначала приведем к общему знаменателю: [ -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{81}{27} = \frac{86 - 4}{27} = \frac{82}{27}. ]

[ y(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2. ]

7. Итоги:

• Промежутки возрастания: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
• Промежуток убывания: ( (-\frac{1}{3}, 1) ).
• Точки экстремума:
  • Локальный максимум в ( \left(-\frac{1}{3}, \frac{82}{27}\right) )
  • Локальный минимум в ( (1, 2) )