Cos(60-a)-sin(a+30)

Для того чтобы упростить выражение (\cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ)), применим тригонометрические формулы.

Во-первых, вспомним формулы для косинуса и синуса суммы и разности углов: [ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y ] [ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y ]

Применим эти формулы к нашему выражению.

1. Упрощение (\cos(60^\circ - a)): [ \cos(60^\circ - a) = \cos 60^\circ \cos a + \sin 60^\circ \sin a ] Зная, что (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}) и (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: [ \cos(60^\circ - a) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a ]

2. Упрощение (\sin(a + 30^\circ)): [ \sin(a + 30^\circ) = \sin a \cos 30^\circ + \cos a \sin 30^\circ ] Зная, что (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}), получаем: [ \sin(a + 30^\circ) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a \cdot \frac{1}{2} ]

Теперь подставим полученные выражения в исходное: [ \cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ) = \left(\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) - \left(\sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a \cdot \frac{1}{2}\right) ]

Сгруппируем и упростим: [ \cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a - \frac{1}{2} \cos a ]

Выражения (\frac{1}{2} \cos a - \frac{1}{2} \cos a) и (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a) взаимно уничтожаются: [ \cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ) = 0 ]

Таким образом, выражение (\cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ)) равно нулю: [ \cos(60^\circ - a) - \sin(a + 30^\circ) = 0 ]

Для расширенного ответа на данный вопрос, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. cos(60°) = 1/2
2. sin(30°) = 1/2
3. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
4. sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Теперь подставим данные значения и применим тригонометрические тождества:

cos(60° - a) - sin(a + 30°) = cos(60°)cos(a) + sin(60°)sin(a) - [sin(a)cos(30°) + cos(a)sin(30°)] = (1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a) - (1/2)sin(a) - (sqrt(3)/2)cos(a) = (1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a) - (1/2)sin(a) - (sqrt(3)/2)cos(a) = (1/2 - sqrt(3)/2)cos(a) + (sqrt(3)/2 - 1/2)sin(a)

Таким образом, расширенный ответ на выражение cos(60-a)-sin(a+30) равен (1/2 - sqrt(3)/2)cos(a) + (sqrt(3)/2 - 1/2)sin(a).