Cos2x + корень из 2sin(п/2+x) +1=0

Чтобы решить уравнение ( \cos 2x + \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 ), давайте разберем его по частям и преобразуем.

1. Преобразование тригонометрических функций:

   • Для выражения (\cos 2x) используем формулу двойного угла: [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ]

   • Для выражения (\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)) используем тригонометрическую идентичность: [ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x ]

   Таким образом, уравнение становится: [ 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0 ]

2. Упрощение уравнения:

   Объединим одинаковые члены: [ 2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0 ]

3. Решение уравнения:

   Вынесем (\cos x) за скобки: [ \cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0 ]

   Это уравнение равносильно двум уравнениям:

   • (\cos x = 0)
   • (2\cos x + \sqrt{2} = 0)

   Рассмотрим каждое из них:

   а) (\cos x = 0):

   [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   б) (2\cos x + \sqrt{2} = 0):

   Решим относительно (\cos x): [ 2\cos x = -\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Значение (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам: [ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

4. Объединение решений:

   Итоговое множество решений:

   [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   [ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   [ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это полное решение данного тригонометрического уравнения.

Для решения уравнения cos(2x) + sqrt(2)sin(pi/2 + x) + 1 = 0 сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) (тождество двойного угла для косинуса) sin(pi/2 + x) = cos(x) (тождество суммы для синуса)

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2(x) + sqrt(2)cos(x) + 1 = 0 -2sin^2(x) + sqrt(2)cos(x) + 2 = 0 2sqrt(2)cos(x) = 2sin^2(x) - 2

Теперь воспользуемся тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2sqrt(2)cos(x) = 2(1 - cos^2(x)) - 2 2sqrt(2)cos(x) = 2 - 2cos^2(x) - 2 2sqrt(2)cos(x) = -2cos^2(x)

cos(x) = -sqrt(2)/2

Таким образом, мы нашли значение косинуса угла x. Далее можно найти значение синуса, зная, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставив cos(x) = -sqrt(2)/2, мы можем найти sin(x) и затем найти значения угла x, удовлетворяющие уравнению.

Для данного уравнения не существует решения в действительных числах.