(Cos a-1)(1+cos a)упростите выражение

Чтобы упростить выражение ((\cos a - 1)(1 + \cos a)), мы можем воспользоваться распределительным свойством умножения (также известным как правило распределения) и свойствами тригонометрических функций. Давайте разберем это пошагово.

1. Распределение: [ (\cos a - 1)(1 + \cos a) = \cos a \cdot 1 + \cos a \cdot \cos a - 1 \cdot 1 - 1 \cdot \cos a ]

2. Упрощение шагов: [ \cos a \cdot 1 = \cos a ] [ \cos a \cdot \cos a = \cos^2 a ] [ 1 \cdot 1 = 1 ] [ 1 \cdot \cos a = \cos a ]

3. Объединение всех частей: [ (\cos a - 1)(1 + \cos a) = \cos a + \cos^2 a - 1 - \cos a ]

4. Сокращение: [ \cos a - \cos a = 0 ] Таким образом, у нас остается: [ \cos^2 a - 1 ]

5. Использование тригонометрической тождества: Мы знаем, что (\cos^2 a - 1) можно переписать с использованием известного тригонометрического тождества: [ \cos^2 a - 1 = - (1 - \cos^2 a) ] А поскольку (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), то: [ 1 - \cos^2 a = \sin^2 a ] Таким образом: [ \cos^2 a - 1 = -\sin^2 a ]

Итак, упростив выражение ((\cos a - 1)(1 + \cos a)), мы получаем: [

• \sin^2 a ]

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. По этой формуле, разность двух выражений (a^2 - b^2) равна произведению суммы и разности данных выражений: (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)).

Применяя данную формулу к выражению ((\cos a - 1)(1 + \cos a)), мы получаем:

[(\cos a - 1)(1 + \cos a) = (\cos a)^2 - 1^2 = \cos^2 a - 1]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a) (тригонометрическим тождеством Пифагора), чтобы дополнительно упростить выражение:

[\cos^2 a - 1 = (1 - \sin^2 a) - 1 = 1 - \sin^2 a - 1 = -\sin^2 a]

Таким образом, упрощенное выражение будет равно (-\sin^2 a).