Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а...

Обозначим числитель обыкновенной дроби как ( x ), а знаменатель как ( y ). Тогда у нас имеется система уравнений:

[ \begin{cases} x = y - 4 \ \frac{x + 19}{y + 28} = \frac{1}{5} \end{cases} ]

Решим первое уравнение относительно ( y ):

[ y = x + 4 ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ \frac{x + 19}{x + 4 + 28} = \frac{1}{5} ]

[ 5(x + 19) = x + 32 ]

[ 5x + 95 = x + 32 ]

[ 4x = -63 ]

[ x = -\frac{63}{4} ]

Теперь найдем значение ( y ):

[ y = x + 4 = -\frac{63}{4} + 4 = -\frac{63}{4} + \frac{16}{4} = -\frac{47}{4} ]

Итак, искомая дробь равна ( \frac{-63}{4} : -\frac{47}{4} ) или ( \frac{63}{47} ).

Для решения задачи обозначим числитель дроби через ( x ), а знаменатель через ( x + 4 ) (так как числитель на 4 меньше знаменателя).

Изначальная дробь тогда будет выглядеть как ( \frac{x}{x+4} ).

Теперь рассмотрим условие задачи: если к числителю прибавить 19, а к знаменателю 28, то дробь увеличится на (\frac{1}{5}). Запишем это условие уравнением:

[ \frac{x + 19}{x + 4 + 28} = \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{5} ]

Упростим выражения в уравнении:

[ \frac{x + 19}{x + 32} = \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{5} ]

Для удобства избавимся от дробей. Преобразуем правую часть уравнения:

[ \frac{x}{x + 4} + \frac{1}{5} = \frac{5x + (x + 4)}{5(x + 4)} = \frac{6x + 4}{5(x + 4)} ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ \frac{x + 19}{x + 32} = \frac{6x + 4}{5(x + 4)} ]

Чтобы избавиться от дробей, воспользуемся перекрестным умножением:

[ (x + 19) \cdot 5(x + 4) = (x + 32) \cdot (6x + 4) ]

Раскроем скобки:

[ 5x(x + 4) + 5 \cdot 19(x + 4) = (x + 32)(6x + 4) ]

[ 5x^2 + 20x + 95x + 380 = 6x^2 + 4x + 192x + 128 ]

Соберем все члены в одну сторону уравнения и упростим:

[ 5x^2 + 115x + 380 = 6x^2 + 196x + 128 ]

Переносим все члены в одну сторону:

[ 5x^2 + 115x + 380 - 6x^2 - 196x - 128 = 0 ]

[ -x^2 - 81x + 252 = 0 ]

Домножим уравнение на -1, чтобы привести его к стандартному виду:

[ x^2 + 81x - 252 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае:

[ a = 1, \quad b = 81, \quad c = -252 ]

Подставим значения:

[ D = 81^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) ]

[ D = 6561 + 1008 ]

[ D = 7569 ]

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x = \frac{-81 \pm \sqrt{7569}}{2} ]

[ x = \frac{-81 \pm 87}{2} ]

Два возможных решения:

[ x = \frac{6}{2} = 3 ]

[ x = \frac{-168}{2} = -84 ]

Поскольку числитель дроби не может быть отрицательным, выбираем ( x = 3 ).

Таким образом, числитель дроби равен 3, а знаменатель:

[ x + 4 = 3 + 4 = 7 ]

Итак, искомая дробь:

[ \frac{3}{7} ]