Арифметическая прогрессия задана первыми двумя членами: а₁ = 4, а₂ = 9. Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии.
Арифметическая прогрессия задана первыми двумя членами: а₁ = 4, а₂ = 9. Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии.
Для того чтобы найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, заданной первыми двумя членами ( a_1 = 4 ) и ( a_2 = 9 ), необходимо выполнить несколько шагов.
Определение разности прогрессии ((d)): Арифметическая прогрессия определяется наличием постоянной разности между любыми двумя последовательными членами. Разность ((d)) вычисляется следующим образом: [ d = a_2 - a_1 ] Подставим известные значения: [ d = 9 - 4 = 5 ]
Запись общего члена прогрессии ((a_n)): Общий член арифметической прогрессии можно найти по формуле: [ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ] Для прогрессии, которая начинается с ( a_1 = 4 ) и имеет разность ( d = 5 ), формула станет: [ a_n = 4 + (n - 1) \cdot 5 ]
Нахождение суммы первых 10 членов ((S_{10})): Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) ] Для ( n = 10 ), ( a1 = 4 ) и ( d = 5 ): [ S{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 4 + (10 - 1) \cdot 5) ] Упростим выражение внутри скобок: [ S{10} = 5 \cdot (8 + 9 \cdot 5) ] Далее, вычислим ( 9 \cdot 5 ): [ 9 \cdot 5 = 45 ] Теперь подставим значение обратно: [ S{10} = 5 \cdot (8 + 45) ] Сложим числа внутри скобок: [ 8 + 45 = 53 ] Подставим обратно: [ S_{10} = 5 \cdot 53 ] И, наконец, умножим: [ 5 \cdot 53 = 265 ]
Таким образом, сумма первых 10 членов данной арифметической прогрессии равна 265.
Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии можно воспользоваться формулой: Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ), где Sₙ - сумма первых n членов прогрессии, n - количество членов, a₁ - первый член прогрессии, aₙ - n-й член прогрессии.
Для данной задачи у нас заданы первые два члена арифметической прогрессии: а₁ = 4 и а₂ = 9. Мы можем найти разность прогрессии d, вычислив разность между вторым и первым членом: d = а₂ - а₁ = 9 - 4 = 5.
Теперь мы можем найти любой член прогрессии, используя формулу: aₙ = a₁ + (n-1)d.
Для нашей задачи мы хотим найти сумму первых 10 членов прогрессии, поэтому n = 10. Теперь мы можем найти 10-й член прогрессии: a₁₀ = 4 + (10-1)*5 = 4 + 45 = 49.
Теперь, используя формулу для суммы первых n членов прогрессии, мы можем найти сумму первых 10 членов: S₁₀ = 10/2 (4 + 49) = 5 53 = 265.
Итак, сумма первых 10 членов данной арифметической прогрессии равна 265.
